Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
Выявление соответствия между эталонным (опорным) сигналом и подобными ему сигналами, расположенными произвольно на оси времени, весьма актуально для передачи сигналов. Это два типа задач 1) обнаружение сигнала в помехах или без них, 2) измерение параметров обнаруженного сигнала (времени прихода, частоты, фазы и т.п.), которые несут информацию, но тоже могут быть поражены помехами.
а) функция автокорреляции сигнала (Баскаков, с.86)
Для количественного определения степени отличия сигнала s(t) и его сдвинутой копии s(t-τ) принято вводить функцию автокорреляции Кs (τ), равную скалярному произведению этих двух сигналов Выражение (1) справедливо, если сигнал имеет локализованный во времени импульсный (финитный) характер, т.е. обладает конечной энергией, в противном случае - ал сходиться не будет. Свойства автокорреляционной функции: 1) при τ = 0 сходство сигнала с его несдвинутой копией достигает наибольшего значения и функция К11 (0) достигает максимального значения, равного полной энергии сигнала Es = Ws.
2) автокорреляционная функция является четной функцией временного сдвига:
Рассмотрим это свойство на примере нахождения АКФ прямоугольного видеоимпульса (рис.7.4., стр. 137 Паршин)
Рисунок
сдвиг на в сторону запаздывания
АКФ имеет размерность взаимной энергии сигналов s1(t) и s1(t-τ). Длительность АКФ во времени в два раза превосходит длительность прямоугольного видеоимпульса. 3) абсолютное значение АКФ при любом τ не может превышать ее значения при τ = 0 : .
Докозательство этого неравенства вытекает непосредственно из неравенства Коши-Буняновского т.е. взаимная энергия сигналов не может превышать произведения их норм. 4) Если функция имеет бесконечную длительность Т1 т.е. обладает бесконечно большой энергией, то АКФ рассчитывается как среднее значение скалярного произведения сигнала его копии, следовательно, АКФ определяется в единицах мощности Т→∞
Соответственно К11(0) будет равна средней мощности сигнала .
При определении АКФ периодической функции усреднение выполняется по ее периоду. 5) АКФ периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом. Докажем это на примере гармонического сигнала
Второй интеграл равен 0, т.к. площадь под Cos2ω0t за два периода будет равна 0.При τ=0 АКФ К11(0) = определяет среднюю мощность гармонического колебания с амплитудой А0. Из выражения (2) следует, что АКФ гармонического колебания не зависит от его начальной фазы. Это утверждение можно распространить и на другие периодические колебания.
32) Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.
Функция корреляции есть скалярное произведение между сигналом s и его сдвинутой на время τ копией sτ, т.е.
Но из обобщенной формулы Рэлея (1) - предыдущая лекция ) следует, что скалярное произведение сигналов пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей т.е.
но
спектральная плотность и поэтому
(3)
(31)
Выражение (31) носит название теоремы Винера-Хинчина и имеет принципиальный характер, поскольку позволяет связывать между собой спектральные и временные характеристики не только детерминированных, но и случайных сигналов, для которых аналитическая запись формы сигнала, а значит, и его спектра, невозможна. Из (3) следует, что чем шире спектр сигнала, тем уже его автокорреляционная функция и наоборот, т.е. для сложных по форме быстроменяющихся во времени сигналов пик АКФ очень узкий. Это позволяет увеличить разрешающую способность устройств обнаружения сигналов.
Рассмотрим блок-схему устройства для обнаружения двух заранее известных сигналов s1(t) и s2(t) (рис. 7.5. Паршин, с.137).
Рисунок
Для определенности s1(t) - прямоугольный видеоимпульс с заданной амплитудой и длительностью, s2(t) - прямоугольный радиоимпульс с теми же параметрами и частотой заполнения ω0. Считаем, что с момента t1 до t2 поступает видеоимпульс, а через период синхронизации Тс радиоимпульс такой же длительности.
Пусть осуществляется когерентный прием, т.е. мы точно знаем начало и конец каждого сигнала, но не знаем - какой это сигнал s1(t) или s2(t). Устройство для различия двух сигналов будет двухканальным. Верхний канал следит за s1(t), нижний за s2(t). Это определяется спорным сигналом, подаваемым на перемножители. На выходах каналов после интегрирования в каждый момент времени будут вырабатываться напряжения, пропорциональные функциям автокорреляции или взаимной корреляции. Решение о принятом сигнале принимает устройство сравнения в моменты окончания сигналов (моменты времени t2 и t4). В момент времени t2 оно примет решение о принятии сигнала s1(t), т.к. на верхнем канале будет напряжение К11 = Еs1, а на нижнем К2(0) = 0. В момент времени t4 будет зафиксировано принятие радиоимпульса.
Для того, чтобы сигналы легко было различить, их АКФ должны иметь как можно более узкий главный лепесток и как можно меньший уровень побочных лепестков. Выбор сигналов для передачи должен исходить также из условия минимального значения их взаимокорреляционных функций.
В качестве сигналов с "хорошими" характеристиками можно привести набор сигналов (кодов) Баркера. У них отношение значения главного лепестка к боковым равно номеру этого сигналаМ, а ширина главного и всех побочных лепестков равны между собой и равны 2 τu - где τu - длительность элементарного сигнала (позиции), из которых составляются коды Баркера. В качестве элементарных сигналов можно использовать любые противоположные сигналы, условно обозначенные "+1" и "-1". Сигналы Баркера можно реализовать при числе позиций М = 2,3,4,5,7,11 и 13 .11 - позиционный сигнал имеет запись 1,1,1,-1,-1,-1,1, -1,-1, 1, -1. Его можно реализовать, например, как последовательность одинаковых по амплитуде и длительности разнополярных видеоимпульсов (рис. 7.6., стр. 141, Паршин. На семинарское занятие). Реализовать коды Баркера можно, например, фазоманипулированными равноимпульсами и др. способами. Не существует нечетных кодов Баркера с М>4. М7 = 1,1,1, - 1,-1, 1, -1; М5 = 1,1,1, -1,1.
33)Принцип определения взаимной функции корреляции
Обобщая формулу (1), назовем взаимной функцией корреляции двух вещественных сигналов s1(t) и s2(t) их скалярное произведение следующего вида:
Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть сигналы s1(t) и s2(t) в исходном состоянии ортогональны, так что .При прохождении этих сигналов через некоторые устройства возможна ситуация, когда сигнал s1(t) будет опережать s2(t) или, наоборот, заказывать на некоторое время τ. Взаимная функция корреляции К1 2 (τ) служит мерой устойчивости ортогонального состояния относительно сдвига сигнала во времени. Некоторые свойства функции взаимной корреляции:
1. Пусть даны сигналы s1(t) и s2(t), тогда
т.е. одно и тоже взаимное положение сигналов s1(t) и s2(t) будет достигнуто как при сдвиге s2(t) "вправо" по оси времени, так и при сдвиге s1(t) "влево";
2. взаимокорреляционная функция не является четной функцией аргумента τ :
;
3. значения ВКФ ограничены по величине, поскольку сдвиг сигнала во времени не влияет на его форму. При τ = 0 ВКФ вовсе не обязана достигать абсолютного максимума;
4. ВКФ и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны между собой парой преобразований Фурье: