Урав плоскости, проходящей через данную точку перпендик-рно даному вектору. Общ урав плоскости. Урав плоскости в отрезках.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

Уравнение плоскости в отрезках

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Взаимное расположение плоскостей.

Угол между плоскостями

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

Угол между плоскостями

1)Пусть P^Q<=>N₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

5.1. Канонические и параметрические уравн прямой. Урав прямой, проходящ через две точки.

l m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки , лежащей на прямой, - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t — производный параметр, при этом

Сведение общего урав. прямой в пространсве к каноническим уравнениям.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

Взаимн распол-ние прямй и плоскоси. Угол между прямой и плоскостью

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

Взаимное расположение прямой и плоскости

Плоскость и прямая

1) пересекаются

2) прямая лежит в плоскости

3) параллельны

Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

1)

2)

3)

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).