Взаимное расположение плоскостей.

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

N1,N2-нормальные векторы плоскости.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

P^Q{A1,B1,C1}

Q^N2{A2,B2,C2}

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

1)Пусть P^Q<=>N1^N2

A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N1^N2

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей.

A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей.

Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

M0M{x-x0,y-y0,z-z0}

Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

l m n

S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru 14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0 Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

M0(x0,y0,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

P^N1{A1,B1,C1}

Q^N1{A2,B2,C2}

S=N1*N2

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение прямой на плоскости.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0^N1{A1,B1}

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0^N2{A2,B2}

а)

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

то Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

б)

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru p­­q<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2

в)

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru p||q<=> N1^N2, то A1A2+B1B2=0

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M0(x0,y0)

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

M0M{x-x0,y-y0}

n*M0M=0

A(x-x0)+B(y-y0)=0

Ax+By-Ax0-By0=0

-Ax0-By0=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

y-y1=k1(x-x1)

y=k1x-k1x1+y1

y1-k1x1=b

y=k1x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru M2(x2,y2) и x1¹x2, y1¹y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. М2лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k:

Теперь вид искомой прямой имеет вид:

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru или: Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru - Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и^.

а) Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

S1{l1,m1} S2{l2,m2},

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

или

p:y=k1x+b1, k1=tgj1

q:y=k2x+b2, k2=tgj2 =>tgj=tg(j2-j1)=

=(tgj2-tgj1)/(1+ tgj1tgj2)=

=(k2-k1)/(1+k1k2).

б) p||q, tgj=0, k1=k2

в)p^q,то Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.

1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

а) Каноническое ур-е эллипса

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru - Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2

г) ур-е сферы: x2+y2+z22 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)

д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1

Парабола и ее свойства.

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y2=2px-симметрично отн. оси ОХ

х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.

25.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx2+Cy2=d

Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru

ур.-е Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru наз. канонич. ур.-ем эллипса, где Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru Взаимное расположение плоскостей. - student2.ru При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y22

Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

Наши рекомендации