Векторы. Действия над векторами.
Векторы. Действия над векторами.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то АВ, l<0, то А¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
Декартова прямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
Действия над векторами.
а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k
l*a=l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k
a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k
ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+ z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2
ii=1; ij=0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a2=|a|2
ab=|a|*|b|*cosj
а)ав=0,<=>а^в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б)а||в - коллинеарны, если , x1/x2=y1/y2=z1/z2
Скалярное произведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).
Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая
Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a и c^b. 3. тройка а,в,с-правая.
Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
N-вектор нормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т.е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.
Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0, то By+Сz+D=0
Если B=0, то Ax +Сz+D=0
Если C=0, то Ax+By+D=0
Если A=B=0, то Сz+D=0
Если A=C=0, то By+D=0
Если A=D=0, то By+Сz=0
Если B=D=0, то Ay+Сz=0
Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-е эллипса
- Каноническое ур-е эллипса
Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1
в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
Парабола и ее свойства.
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид
y2=2px-симметрично отн. оси ОХ
х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ
Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.
25.Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=d
ур.-е 
наз. канонич. ур.-ем эллипса, где 
При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2
Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а.
Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)
Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
Гипербола и ее св-ва.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0
б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.
б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0
в) если d<0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.
Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.
т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство:Теорема Лагранжа имеет простой геометрический .смысл, если записать её в виде (f(b)–f(a))/(b–a)=f'(c)при(а<с<b). Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a,f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой сÎ(а,b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис) есть график непрерывной на [а,b] функции, имеющей производную на (а,b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с(а<с<b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (a,f(a)) и (b,f(b)). Равенство {1} наз. формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записывать в виде c=a+q(b–a), где q есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0<q<1. Тогда формула Лагранжа примет видf(b)–f(a)=(b-a)f'(a+q(b–a)) (0<q<1). {2} Она верна, очевидно, не только для a<b, но и для a³b.
Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:
1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]
2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)
3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).
1). F(x) – непрерывна на [a,b]
2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)
3). F(a)=0 ; F(b)=0
по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0
53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:
Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно возрастает
Если x2>x1, f(x2)<f(x1), то ф-ция монотонно убывает
Монотонность - постоянство
Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)
2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)
3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)
Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.
x1<a<x2, x2-x1>0, x2>x1
1. если f`(a)>0, то f(x2)>f(x1)
2. если f`(a)<0, то f(x2)<f(x1)
3. если f`(a)=0, то f(x2)=f(x1)
Асимптота графика ф-ции.
Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.
1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0 |f(x)|®+¥ (вида x=b)
2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты
lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.
разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥
f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)
x®¥
, то
k=lim(f(x)/x)
b=lim[f(x)-kx]
Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y
3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.
Векторы. Действия над векторами.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то АВ, l<0, то А¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.