Классификация случайных событий.

Среди случайных событий различают:

1. Равновозможные.

2. Единственно возможные.

3. Несовместные.

4. Полная система событий.

5. Противоположные события.

Равновозможными называются события, если нет оснований считать, что одно из них наступит чаще, чем другое.

Единственно возможные – это события, если наступает одно из них и никакое другое.

Несовместными называются события, если появление одного из них исключает появление другого.

Полной системой событий называются события, единственно возможные и несовместные.

Два события называются противоположными, если они образуют полную систему.

Суммой двух событий А и В называется третье событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий ( или события А, или события В, или обоих вместе).

Обозначается С = А + В или С = А È В (рис. 2.1а).

Пример 1:

А – первый стрелок попал в цель;

В – второй стрелок попал в цель;

С – хотя бы один стрелок попал в цель.

С = А + В.

Произведением двух событий А и В называется третье событие С, которое состоит в появлении А и В одновременно.

Обозначается: С = А × В или С = А Ç В (рис. 2.1б).

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

1. А+В=В+А – коммутативность сложения.

2. А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения.

3. АВ=ВА – коммутативность умножения.

4. А(ВС)=(АВ)С - ассоциативность умножения.

5. А(В+С)=АВ+АС; А+ВС=(А+В)(А+С) – законы дистрибутивности.

72. Различные определения вероятности.

Классическое определение вероятности события

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее определение вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его количественно.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами или случаями.

Случай называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих исходов испытания общему числу всех единственно возможных и равно возможных исходов испытания. Обозначается:

где m – число благоприятствующих исходов испытания; n – число всех исходов испытания.

Статистическое определение вероятности

Проводится серия статистических наблюдений, N – количество наблюдений, M – число появления события А (M £ N).

- относительная частота появления события А.

Если в различных сериях наблюдений относительные частоты меняются мало, т.е. обладают свойством устойчивости, то можно ввести понятие вероятности.

Статистической вероятностью события А называется число, около которого группируются устойчивые значения относительных частот:

Иначе: Статистической вероятностью события называется предел частости при неограниченном увеличении числа испытаний.

Геометрическое определение вероятности

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.

Оказывается, иногда этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть, например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадание брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем

Р(А)= ,

Где Sg и SG – соответственно площади областей g и G (рисунок 1.1).

Фигуру g называют благоприятствующей событию А.