Ее распределение называют распределением F Фишера – Снедекора со степенями свободы k1 и k2. Плотность его распределения имеет вид

(12.5)

где . Таким образом, распределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.

28)Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y:

F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ). (8.1)

y

Рис.1.

Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у).

Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения.

0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).

F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F(x2, y) ≥ F(x1, y), если x2 > x1;

F(x, y2) ≥ F(x, y1), если y2 > y1.

Доказательство. F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥

≥ p(X < x1, Y < y) = F(x1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.

Имеют место предельные соотношения:

а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F( ∞, ∞) = 1.

Доказательство. События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.

При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х:

F(x, ∞) = F1(x).

При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y :

F( ∞, y) = F2(y).

Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞) = р(Х < x) = F1(x). Аналогично доказывается второе утверждение.

29). Плотностью совместного распределения вероятностей (двумер-ной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называ-ется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

. (8.2)

Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу к площади этого прямоугольника при

Свойства двумерной плотности вероятности.

f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен).

(cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти).

(поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость Оху, то есть достоверного события).

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.

27) Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):

Y	Х
x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)