Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей:

Смешанное произведение меняет знак на противоположный при всякой перестановке, изменяющей последовательность сомножителей:

Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны.

Вычисление смешанного произведения векторов

Если векторы ( ₁; ₂; ₃), (b₁; b₂; b₃), (c₁; c₂; c₃) заданы относительно прямоугольной системы координат, то смешанное произведение векторов вычисляется:

.

12 Способы задания прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Прямая на плоскости

Всякая прямая относительно прямоугольной системы координат на плоскости определяется уравнением первой степени, и обратно, всякое уравнение первой степени относительно координат описывает некоторою прямую на плоскости.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется её направляющим вектором.

Различные способы задания прямой

Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором

Пусть дана некоторая прямая, которая проходит через точку с известными координатами , параллельно направляющему вектору , координаты которого также известны и равны ( , ).

Уравнение этой прямой можно записать в виде:

.

Это равенство называется каноническим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

Существует ещё один вид уравнения прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный направляющий вектор :

где - параметр, принимающий все действительные значения.

Этот вид называется параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть некоторая прямая проходит через две точки с известными координатами: . Уравнение этой прямой имеет вид:

.

Уравнение прямой “в отрезках по осям”

Пусть прямая отсекает на оси отрезок величины , на оси – отрезок . В этом случае уравнение прямой будет иметь вид:

.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

( , )= .
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Тангенс угла между прямыми, уравнения которых относительно прямоугольной системы координат заданы в виде и , вычисляется по формуле

,

причём угол принято отсчитывать против часовой стрелки от первой прямой ко второй.

Необходимое и достаточное условие параллельности заданных прямых выражается равенством , а условие перпендикулярности

14 Способы задания плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

Всякая плоскость относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве определяется уравнением первой степени и обратно: каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Различные способы задания плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам

Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве дана точка M₀(x₀; y₀; z₀) некоторой плоскости и два неколлинеарных вектора , , параллельные этой плоскости.

Тогда уравнение плоскости можно записать так: