Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения.

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.

Общее уравнение окружности записывается как:

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru или Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

56. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формыэллипса.

Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.

Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F1(C,0) и F2(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F1F2, то по F1М+F2M получаем:

каноническоеур-ие эллипса Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru,

b2=-(с2-a2).

а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.

Эксцентриситет. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , (если а>b)

(если а<b)

Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса.

У эллипса эксцентриситет находится: 0 Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .

Случай Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , называется директрисами. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .

Примечание: у окружности нет директрисы.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

57. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения гиперболы. Исследование формы гиперболы.

Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.

Каноническое уравнение гиперболы:
Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , где Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .

Гипербола есть линия второго порядка.

Гипербола имеет 2 асимптоты: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru и Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:
Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Так как для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы >1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .

Директрисы – прямые Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .

Фокальные радиусы: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru и Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .

Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Парабола. Определение. Вывод канонического уравнение параболы.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).-полуфокальный диаметр.

Парабола есть линия второго порядка.

М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru =>

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru = Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru =>

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru =>

Каноническое уравнение параболы:
y2 = 2px.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Исследование общего уравнения линии 2 порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Сфера. Определение. Вывод канонического уравнения.

Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c): Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Эллипсоид Каноническое уравнение: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.

Эллиптический цилиндр

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru Эллиптическое уравнение:Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x2 + y2 = R2. Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Уравнение: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru определяет в пространстве гиперболический цилиндр.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

62. Эллипсоиды.

Исследуем поверхность, заданную уравнением: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

z=h .

Исследуем поверхность:

А) если Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru то Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ruЛиния пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует.

Б) если Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ruлиния пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , то уравнения можно переписать в виде: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , b1 = Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений.а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

h=0.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Гиперболоиды.

1. Исследуем поверхность Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru .Пересекая поверхностьплоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru
z=h. или z=hполуоси: а1= Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru b1= Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. => Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru х=0.

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

2. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru -уравнение поверхности.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ruи Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru -поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

64. параболоиды.

. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru -это эллиптический параболоид.

Каноническое уравнение: Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru (р>0, q>0).

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.

2. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru - гиперболический параболоид. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

65. Канонические поверхности.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru Каноническое уравнение:Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

a = b - конус вращения (прямой круговой)
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

66. Функция. Основные понятия. Способы её задания.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru , при этом x называют аргументом функции, y

называют значением функции.

1. Аналитический способ.

2. Графический способ.

3. Словесный способ.

4. Табличный способ.

Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения. - student2.ru

Наши рекомендации