Напр.: комплексные числа используются в электротехнике для расчёта цепей переменного тока.
Билет 56)
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.
Если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую, на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:
Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)
Для любого ненулевого комплексного числа
, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле
,
где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .
Билет 55)
Тригонометрической формой записи комплексного числа называют z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:
Сложение.
1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:
.
Умножение.
Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что
для любого
Билет 54)
Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:
- Коммутативность сложения:
z1 + z2 = z2 + z1 |
- для любых .
- Ассоциативность сложения:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) |
- для любых .
- Существует такое число z = 0, которое обладает свойством
z + 0 = z |
- для любого z .
- Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.
- Коммутативность умножения:
z1z2 = z2z1 |
- для любых .
- Ассоциативность умножения:
(z1z2)z3 = z1(z2z3) |
- для любых .
- Дистрибутивность сложения относительно умножения:
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 |
- для любых .
- Для любого комплексного числа z:
z · 1 = z. |
- Для любых двух чисел и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.
Ко́мпле́ксные — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица.
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Билет 52
Формулой Маклоренаназывается формула Тейлора при а = 0:
Билет 51)
РядТе́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при : |
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Билет 50)
Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий
, |
Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
Билет 49)
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).
Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b). Она
называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек x1 и x2,
a<x1 <x2 <b, и любых чисел α1 > 0 и α2 > 0 таких, что α1+α2 = 1, выполняется
неравенство
f(α1x1 + α2x2) 6 α1f(x1) + α2f(x2). (2.12.1)
Если для функции f справедливо обратное неравенство, то функция f называется
выпуклой вверх.
Всякий интервал, на котором функция выпукла вниз или
вверх, называется интервалом выпуклости функции.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.
Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то
Билет 48)
Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.
Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.
Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).
Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .
Билет 47)
Правило Бернулли-Лопиталя — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Условия:
1. или ;
2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
3. в проколотой окрестности ;
4. существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними
Билет 46)
Пусть – некоторая дифференцируемая функция, производная от которой также является дифференцируемой функцией. Производная функции обозначается символическим выражением и называется второй производной(или производной второго порядка) функции :
Запись вида
позволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма:
Во многих задачах функция y(x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.
Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:
- Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции; - Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).
Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то
где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .
Билет 45)
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если
f(a) = f(b)
то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что
f ' (x0) = 0.
Доказательство.
Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).
Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.
Пусть даны две функции и такие, что:
1. и определены и непрерывны на отрезке ;
2. производные и конечны на интервале ;
3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
4. ;
тогда существует , для которой верно:
.
(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)
Доказательство
Для доказательства введём функцию
Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.
Если х - независимая переменная и y = f(x) - дифференцируемая функция, то dx = f'(x)dx, т. е. дифференциал функции есть функция, зависящая от двух аргументов х и dx. Этот дифференциал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).
Считая dx постоянной, получаем, что df(x) - функция одной переменной. Предположим, что функция у = f(x) имеет не только первую производную, но и n последовательных производных y" = f"(x), y’” = f”’(x).
Дифференциал от дифференциала функции у = f{x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y = d(dy), причем
Дифференциалом n-го порядка
Смотрите пример вычисления дифференциалов первого и второго порядков
Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u),u=u(x) дифференцируемы, тогда
Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала (7), когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.
Билет 43
Если у есть неявная функция от х, т.е. задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно у, то для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное равенство относительно у'.
Пример.Найти производную неявной функции х2+у2-4х-10у+4=0.
Дифференцируя по х, получаем 2х+2у *у' -4-10у'=0. Выражаем у', имеем:
Функция задана параметрически, если зависимость функции y от аргумента x задана посредством параметра t:
Производная параметрической функции равна частному производных y и x, взятых по переменной t:
или в других обозначениях
Билет 42
Билет 41)
Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка.Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).
Билет 56)
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.
Если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую, на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:
Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)
Для любого ненулевого комплексного числа
, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле
,
где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .
Билет 55)
Тригонометрической формой записи комплексного числа называют z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:
Сложение.
1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:
.
Умножение.
Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что
для любого
Билет 54)
Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:
- Коммутативность сложения:
z1 + z2 = z2 + z1 |
- для любых .
- Ассоциативность сложения:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) |
- для любых .
- Существует такое число z = 0, которое обладает свойством
z + 0 = z |
- для любого z .
- Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.
- Коммутативность умножения:
z1z2 = z2z1 |
- для любых .
- Ассоциативность умножения:
(z1z2)z3 = z1(z2z3) |
- для любых .
- Дистрибутивность сложения относительно умножения:
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 |
- для любых .
- Для любого комплексного числа z:
z · 1 = z. |
- Для любых двух чисел и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.
Ко́мпле́ксные — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица.
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Напр.: комплексные числа используются в электротехнике для расчёта цепей переменного тока.
Форма записи z=x+iyкомплексных чисел называется декартовой. Она равносильна представлению комплексных чисел, как точек плоскости в декартовой системе координат, где числу z=x+iyсоответствует точка М с координатами (x; y).
Такое представление комплексных чисел называется геометрической интерпретацией комплексных чисел, а плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа – комплексной плоскостью.
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.
Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.
Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).
http://mathematics.uni-dubna.ru/matherials/arbuzova/ma/Lecture2-1.pdf
Билет 52
Формулой Маклоренаназывается формула Тейлора при а = 0:
Билет 51)
РядТе́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при : |
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).