Основные правила дифференцируемости
1) производная постоянной величины = 0 с-const (с)`=0
2) производная от переменной по этой же переменной =1 xx`=1
3) производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных этих функций y`=u`(x)+v`(x)-w`(x)=(u(x)+v(x)+w(x))`
4) производная произведения равна (u(x)v(x))`=u`(x)v(x)+u(x)v`(x)
5) постоянный множитель можно выносить за знак произведения (cu(x))`=cu`(x)
6) производная дроби равна ( )`=
Производная сложной функции
7) сложная функция равна y=f(u), где u=φ(x) → yx`=yu` ux`
Производная обратной функции
8) обратная функция y=f(x)(прямая) x=φ(y) (обратная) yx`=1/xy` xy`=1/yx`
Производная основных элементарных функций
y=sinuy`=cosuu`
y=cosuy`=-sinuu`
y=tgu y`= u`
y=ctguy`=- u`
y=arcsinu y`= u`
y=arccosuy`=- u`
y=arctguy`= u`
y=arcctgu y`=- u`
y=logau y`= u`
y=lnu y`= u`
y=au y`=aulnau`
y=eu y`=euu`
y=ua y`=aua-1u`
y=u(x)v(x) y`=uvlnuv`+vuv-1u`
Гиперболические функции и их дифференцирование
chx=
shx=
thx=
cthx=
(chx)`=shx
(shx)`=chx
ch2x-sh2x=1
(thx)`=
(cthx)`=
Дифференцирование функции заданной неявно
x2+y2-R2=0 дифференцируем относительно у
2x+2yy`-0=0
y`=-
Дифференцирование функции заданной параметрически
y`(x)=
Дифференциал функции. Его связь с производной
Дифференциал функции в точке х называется главная чать ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy
dy=y`(x)dx (когда х независимая переменная) или dy=y`(x) x
y`(x)=
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
f(x+ x)≈f(x)+dy
Геометрический смысл дифференциала
Приращение ординаты касательной проведенной к данной кривой в точке М при переходе точки М с абсциссой х в точку N с абсциссой x+∆x по кривой
АВ=dy=y`(x)dx
Основные правила и формулы нахождения дифференциала
Dc=0, c`=0
D(cu(x))=cdu
D(u+v)=du+dv
D(uv)=vdu+udv
D(u/v)=
Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.
Дана сложная функция y=f(u), u=φ(x)
Dy=y`(x)dx=f`(u)du
Производные и дифференциалы высших порядков
Производные:
Функция задана параметрически
y`x=
y``=
Дифференциалы:
f`(x)=
f``(x)=
d2y=f`(x)dx2
Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b), в которой производная f`(x) обращается в ноль f`(c)=0
Геометрический смысл означает что на графике функции f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох
Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b) такая, что выполняется равенство f(b)-f(a)=f`(c)(b-a)
Геометрический смысл означает, что на графике функции f(x) найдется точка с, в которой касательная к графику параллельна секущей АВ
Теорема Коши
Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемsна интервале (a,b) ,причем φ`(x)≠0 для x∈(a;b) , то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b) такая, что выполняется неравенство: