Основные правила дифференцируемости

1) производная постоянной величины = 0 с-const (с)`=0

2) производная от переменной по этой же переменной =1 xx`=1

3) производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных этих функций y`=u`(x)+v`(x)-w`(x)=(u(x)+v(x)+w(x))`

4) производная произведения равна (u(x)v(x))`=u`(x)v(x)+u(x)v`(x)

5) постоянный множитель можно выносить за знак произведения (cu(x))`=cu`(x)

6) производная дроби равна ( Основные правила дифференцируемости - student2.ru )`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Производная сложной функции

7) сложная функция равна y=f(u), где u=φ(x) → yx`=yu` Основные правила дифференцируемости - student2.ru ux`

Производная обратной функции

8) обратная функция y=f(x)(прямая) x=φ(y) (обратная) yx`=1/xy` xy`=1/yx`

Производная основных элементарных функций

y=sinuy`=cosuu`

y=cosuy`=-sinuu`

y=tgu y`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=ctguy`=- Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=arcsinu y`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=arccosuy`=- Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=arctguy`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=arcctgu y`=- Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=logau y`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=lnu y`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru u`

y=au y`=aulnau`

y=eu y`=euu`

y=ua y`=aua-1u`

y=u(x)v(x) y`=uvlnuv`+vuv-1u`

Гиперболические функции и их дифференцирование

chx= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

shx= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

thx= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

cthx= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

(chx)`=shx

(shx)`=chx

ch2x-sh2x=1

(thx)`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

(cthx)`= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Дифференцирование функции заданной неявно

x2+y2-R2=0 дифференцируем относительно у

2x+2yy`-0=0

y`=- Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Дифференцирование функции заданной параметрически

y`(x)= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Дифференциал функции. Его связь с производной

Дифференциал функции в точке х называется главная чать ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается dy

dy=y`(x)dx (когда х независимая переменная) или dy=y`(x) Основные правила дифференцируемости - student2.ru x

y`(x)= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

f(x+ Основные правила дифференцируемости - student2.ru x)≈f(x)+dy

Геометрический смысл дифференциала

Приращение ординаты касательной проведенной к данной кривой в точке М при переходе точки М с абсциссой х в точку N с абсциссой x+∆x по кривой

АВ=dy=y`(x)dx

Основные правила и формулы нахождения дифференциала

Dc=0, c`=0

D(cu(x))=cdu

D(u+v)=du+dv

D(uv)=vdu+udv

D(u/v)= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.

Дана сложная функция y=f(u), u=φ(x)

Dy=y`(x)dx=f`(u)du

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные:

Функция задана параметрически

y`x= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

y``= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Дифференциалы:

f`(x)= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

f``(x)= Основные правила дифференцируемости - student2.ru

d2y=f`(x)dx2

Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b), в которой производная f`(x) обращается в ноль f`(c)=0

Геометрический смысл означает что на графике функции f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох

Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b) такая, что выполняется равенство f(b)-f(a)=f`(c)(b-a)

Геометрический смысл означает, что на графике функции f(x) найдется точка с, в которой касательная к графику параллельна секущей АВ

Теорема Коши

Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемsна интервале (a,b) ,причем φ`(x)≠0 для x∈(a;b) , то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b) такая, что выполняется неравенство:

Основные правила дифференцируемости - student2.ru

Наши рекомендации