Тема 1. Матрицы и определители

МАТЕМАТИКА

для бакалавров по направлению подготовки

081100.62 «Государственное и муниципальное управление»

Учебно-методический комплекс

Авторы-составители

д.т.н., профессор А.Н. Данчул

к.т.н., доцент Н.В. Свертилова

Рецензент

к.т.н., профессор А.В. Резниченко

Москва – 2012

Содержание

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.. 3

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.. 4

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ.. 5

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.. 8

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 23

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 23

Таблица вариантов. 24

Контрольная работа № 1. 25

Расчетно-графическая работа. 29

Контрольная работа № 2. 32

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.. 34

ПРИЛОЖЕНИЕ ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.. 36

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Программа учебной дисциплины «Математика» разработана в соот-ветствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для обучения бакалав-ров по направлению подготовки 081100.62 «Государственное и муниципаль-ное управление». Целью изучения дисциплины является создание фундамента для изучения дисциплин «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», «Методы принятия управленческих решений», «Статистика», а также подготовка студентов к творческому восприятию последующих общепрофессиональных и специальных дисциплин. Студенты должны научиться владеть современным математизированным профессиональным языком, принятым в мировом научном сообществе, знать основные возможности и ограничения применения математического аппарата в профессиональной деятельности, а также иметь базовые навыки использования математического инструментария.

Дисциплина «Математика»трудоемкостью 5 зачетных единицчитается во II семестре, рассчитана на 180 часов занятий, из которых 36 часов – лекции, 54 часа – практические занятия, 54 часа – самостоятельная работа студентов (в том числе 5 часов – контролируемая), 36 часов – подготовка к экзамену. Она базируется на знаниях, полученных при изучении дисциплины «Логика».

По дисциплине «Математика» предусмотрены 1 расчетно-графическая и 2 контрольные работы. Формой итогового контроля работы студентов является экзамен. В экзаменационный билет входят два теоретических вопроса и одна задача из числа включенных в планы практических занятий, расчетно-графическую или контрольные работы.

Требования к уровню освоения дисциплины включают знание определений рассматриваемых понятий, понимание формулировок и идей доказательств используемых теорем, знание излагаемых на лекциях доказательств основных теорем, уверенное владение методами решения задач, содержащихся в планах практических занятий.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№	Тема занятий	Всего часов	В том числе:
Лекции	Практич. занятия	Самост. работа
1.	Матрицы и определители
2.	Системы линейных алгебраических уравнений
3.	Линейные пространства и преобразования
4.	Функции одной переменной. Числовые последовательности. Пределы последователь­ностей и функций
5.	Дифференциальное исчисление
6.	Неопределенный и определенный интегралы
7.	Ряды
8.	Функции нескольких переменных
9.	Случайные события
10.	Случайные величины
	ИТОГО

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ

Тема 1. Матрицы и определители

Определение и виды матриц. Векторы. Операции над матрицами. Определитель квадратной матрицы. Минор. Алгебраическое дополнение. Вычисление и свойства определителей. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Тема 4. Числовые последовательности. Функции одной переменной. Пределы последовательностей и функций

Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела последовательности.

Понятие действительной функции действительной переменной. График функции. Основные элементарные функции. Сложные и взаимно обратные функции. Неявные функции. Основные свойства функций.

Предел функции в бесконечности и в точке. Односторонние пределы. Признаки существования предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Два замечательных предела. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Тема 7. Ряды

Понятие числового ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Понятия функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Маклорена и Тейлора.

Тема 9. Случайные события

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Вероятность события. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли.

Тема 10. Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их свойства. Основные законы распределения случайных величин: равномерное, Бернулли, Пуассона, экспоненциальное.

Многомерные случайные величины. Функция распределения и плотность двумерной случайной величины. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

На дом

а)

3. Решить задачи [Л1[1], с.60, 64]:

1.17, 1.20, 1.23; 1.40, 1.43

На дом

1.18, 1.21, 1.25; 1.42, 1.45

4. Найти определитель матрицы

на дом

Занятие 2.

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.65, 68]:

1.51; 1.62 на дом 1.52; 1.65.

3. Найти матрицу, обратную матрице С, если она существует (см. п. 4 занятия 1).

на дом

4. Найти ранг матриц

Занятие 3.

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.70-71]:

1.71; 1.73; 1.79 на дом 1.74; 1.75; 1.82.

3. Найти значение многочлена f(x) от матрицы А:

а) f(x) =x²+x-2 ; б) f(x) =3x²-2x+5;

4. Решить задачу с экономическим содержанием [Л1, с.72-77]:

1.88 на дом 1.93.

Тема 7. Ряды

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать непосредственно сходимость рядов и найти их суммы

на дом .

Решить задачи [Л1, с.741]:

13.19 на дом 13.20; 13.22.

3. Исследовать сходимость знакопостоянного числового ряда

а) ; б) ; в) ;

на дом а) ; б) ; в) .

Решить задачи [Л1, с.748 – 750]:

13.38; 13.61; 13.64; 13.84

на дом 13.67, 13.71; 13.90 – 13.92.

4. Исследовать сходимость знакочередующегося числового ряда

а) ; б) ;

Решить задачи [Л1, с.753, 754]:

13.106, 13.113 на дом 13.120, 13.123.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решить задачи [Л1, с.776]:

14.11; 14.15; 14.21 на дом 14.14; 14.20; 14.21; 14.23; 14.27.

3. Разложить функции в ряд Маклорена и найти радиус сходимости ряда

а) ; б) .

4. Решить задачи [Л1, с.783]:

14.41, 14.43, на дом 14.45; 14.52; 14.66.

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти частные производные функций двух переменных

.

Решить задачи [Л1, с.504, 505]:

9.44, 9.46, на дом 9.47; 9.50; 9.51; 9.53.

3. Полагая, что произвольная функция дифференцируема, проверить следующие равенства:

на дом .

4. Решить задачи [Л1, с.505]:

9.64 на дом 9.66; 9.68.

Найти величину и направление градиента функции в точке :

;

на дом .

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.509]:

9.75; 9.88 на дом 9.76; 9.81; 9.84.

Найти точки локального экстремума функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума

.

3. Вычислить двойные интегралы по области , заданной границами

а) ;

б)

на дом , – треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1), (4, 4).

Решить задачи [Л1, с.643, 644]:

11.159 11.160.

4. С помощью двойного интеграла найти площадь, ограниченную следующими кривыми:

; на дом .

Тема 9. Случайные события

Занятие 1.

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л6[3], с.34 – 37]:

1.17а; 1.18; 1.19.

3. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 приглашения на дискотеку, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся а) только девушки, б) только юноши?

На дом

Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся
две девушки и двое юношей?

4. Решить задачи [Л6, с.61 – 62]:

1.37; 1.43; 1.45 на дом 1.38; 1.45; 1.51.

5. В одной группе Г₁ студентов, из которых О₁ учатся на «отлично». В другой – Г₂ студентов, из которых на «отлично» учатся О₂. Из каждой группы случайным образом выбрали по одному студенту. Какова вероятность того, что оба учатся на «отлично»?

а) Г₁=18; О₁=9; Г₂=16; О₂=4

На дом

б) Г₁=15; О₁=5; Г₂=20; О₂=6.

6. Решить задачи [Л6, с.45, 63]:

1.26а-б; 1.55 на дом 1.26в-д; 1.56.

Занятие 2.

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. В семье двое детей. Известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка – мальчики?

3. По результатам проверки зачетных работ оказалось, что в первой группе получили зачет 20 студентов из 30, а во второй 16 из 32. Какова вероятность того, что наудачу выбранная зачтенная работа принадлежит студенту первой группы?

4. Решить задачи [Л6, с.49-50, 63-65]:

1.31а; 1.65; 1.68; 1.69 на дом 1.33а; 1.70; 1.82.

5.Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,4. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку.

На дом

Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,5. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что пробоина принадлежит второму стрелку.

Занятие 3

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л6, с. 53, 64-67]:

1.34; 1.72; 1.78; 1, 85; 1.98 на дом 1.73; 1.75; 1.87; 1.95; 1.97.

3. Вероятность, что малое предприятие станет банкротом в течение года равна 0,2. Найти вероятность, что из восьми малых предприятий за первый год обанкротятся два предприятия.

На дом

Найти вероятность, что из восьми малых предприятий за первый год обанкротятся более двух предприятий.

Тема 2. Случайные величины

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л6, с.90-92]:

3.2; 3.3.

Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение исходных и полученных случайных величин.

3. Решить задачи [Л6, с.133-137]:

3.25; 3.28; 3.31; 3.52 на дом 3.26; 3.29; 3.34; 3.54.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из числа выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа возвращенных кредитов.

3. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения.

Значение
Вероятность	0,2	0,3	0,5

Составить закон распределения случайных величин Z=2X и W=X+Y. Найти их математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Решить задачи [Л6, с.135-140]:

3.36; 3.41; 3.49; 3.58 на дом 3.43; 3.50; 3.57; 3.59; 3.64; 3.72.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Выполняются контрольная работа № 1 и расчетно-графическая работа по 5 задач в каждой и контрольная работа № 2 из 2 задач.

По выданному преподавателем номеру варианта задания с помощью таблицы вариантов, приведенной на следующей странице, определяются номера варианты входящих в задание задач.

Образец оформления титульного листа работы приведен в Приложении.

Сроки сдачи работ:

· контрольная № 1 – 8 неделя (до 25 марта);

· расчетно-графическая – 15 неделя (до 13 мая);

· контрольная № 2 – 17 неделя (до 27 мая).

Сроки зачета заданий (с учетом исправления ошибок):

· контрольная № 1 – 9 неделя (до 1 апреля);

· расчетно-графическая – 16 неделя (до 20 мая);

· контрольная № 2 – 18 неделя (до 1 июня).

Таблица вариантов

Задача
№ варианта задания	Номера вариантов задач
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.

Контрольная работа № 1

Задача 1. Найти матрицу, обратную матрице А

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

Задача 2. Найти ранг матрицы

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

Задача 3. Решить систему уравнений методом Гаусса

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

Задача 4. Представить вектор x в виде линейной комбинации векторов a₁, a₂, a₃, если система векторов a₁, a₂, a₃ линейно независима. В случае линейной зависимости векторов a₁, a₂, a₃ заменить один из них на вектор x так, чтобы полученная система стала линейно независимой.

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Задача 5. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного линейного пространства в вектор y по следующему алгоритму:

Вариант 1.	Симметричное отображение относительно прямойx1 = 0,а затем поворот на 90° по часовой стрелке.
Вариант 2.	Симметричное отображение относительно прямойx2 = 0,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 3.	Симметричное отображение относительно прямойx1 = 0,а затем симметричное отображение относительно прямойx2 = 0.
Вариант 4.	Симметричное отображение относительно прямойx2 = 0,а затем симметричное отображение относительно прямойx1 = 0.
Вариант 5.	Симметричное отображение относительно начала координат,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 6.	Симметричное отображение относительно прямойx2 = 0,а затем симметричное отображение относительно начала координат.
Вариант 7.	Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямойx1 = 0.
Вариант 8.	Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямойx2 = 0.
Вариант 9.	Поворот по часовой стрелке на 90°, а затем симметричное отображение относительно прямойx2 = 0.
Вариант 10.	Симметричное отображение относительно прямойx1 = 0,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.

Расчетно-графическая работа

Задача 1. Вычислить пределы функций

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Задача 2. Исследовать функцию и построить график.

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Задача 3. Найти неопределенный интеграл.

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
Вариант 10

Задача 5. Исследовать функции на экстремум

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Контрольная работа № 2

Задача 1. В одном сосуде находятся Б₁ белых и Ч₁ черных шаров. Во втором – Б₂ белых и Ч₂ черных. Бросают два кубика. Если сумма очков, выпавших на верхних гранях, меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше или равна 10 – из второго.

Вариант
	Б1=7; Ч1=6; Б2=5; Ч2=9	Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?
	Б1=7; Ч1=5; Б2=6; Ч2=9	Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была меньше 10?
	Б1=6; Ч1=5; Б2=7; Ч2=9	Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была меньше 10?
	Б1=7; Ч1=5; Б2=9; Ч2=6	Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?
	Б1=5; Ч1=6; Б2=9; Ч2=6	Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?
	Б1=5; Ч1=9; Б2=7; Ч2=6	Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была меньше 10?
	Б1=5; Ч1=7; Б2=6; Ч2=9	Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?
	Б1=5; Ч1=7; Б2=9; Ч2=6	Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была меньше 10?
	Б1=4; Ч1=8; Б2=9; Ч2=6	Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была меньше 10?
	Б1=8; Ч1=4; Б2=6; Ч2=9	Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?

Задача 2. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y) задан таблицей:

Y
X
-1	0,02	0,03	0,09	0,01
	0,04	0,2	0,16	0,1
	0,05	0,1	0,15	0,05

Найти условные законы распределения:

Вариант
	случайной величины X при условии Y=0 и случайной величины Y при условии X=-1
	случайной величины X при условии Y=0 и случайной величины Y при условии X=0
	случайной величины X при условии Y=0 и случайной величины Y при условии X=1
	случайной величины X при условии Y=1 и случайной величины Y при условии X=1
	случайной величины X при условии Y=1 и случайной величины Y при условии X=0
	случайной величины X при условии Y=1 и случайной величины Y при условии X=-1
	случайной величины X при условии Y=2 и случайной величины Y при условии X=-1
	случайной величины X при условии Y=3 и случайной величины Y при условии X=0
	случайной величины X при условии Y=2 и случайной величины Y при условии X=1
	случайной величины X при условии Y=3 и случайной величины Y при условии X=1

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Матрицы и основные операции над ними.

2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

3. Умножение матриц.

4. Определители матриц второго и третьего порядка.

5. Обратная матрица и ее нахождение.

6. Свойства определителей.

7. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Их использование при нахождении определителей.

8. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.

9. Условие Кронекера-Капелли совместимости системы линейных алгебраических уравнений.

10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде.

11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

12. Системы линейных однородных уравнений; свойства, фундаментальная система решений.

13. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения.

14. Линейное пространство.

15. Линейная зависимость и независимость векторов. Способы определения.

16. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.

17. Линейные преобразования. Свойства.

18. Нахождение матрицы линейного преобразования.

19. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

20. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.

21. Понятие действительной функции действительной переменной. График функции. Основные свойства функций.

22. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Основные свойства сходящихся последователь­ностей.

23. Предел функции в бесконечности и в точке.

24. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке.

25. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

26. Производная функции и дифференциал. Геометрический и физический смысл производной; геометрический смысл дифференциала.

27. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

28. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.

29. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.

30. Нахождение асимптот функции.

31. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

32. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

33. Свойства неопределенного интеграла.

34. Понятие определенного интеграла. Свойства и геометрическая интерпретация определенного интеграла.

35. Формула Ньютона-Лейбница.

36. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

37. Понятие числового ряда. Основные свойства рядов.

38. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

39. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда.

40. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда.

41. Ряды Тейлора и Маклорена.

42. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность функции.

43. Частные производные первого порядка и полный дифференциал функции нескольких переменных.

44. Производная по направлению, градиент функции.

45. Экстремумы функции многих переменных, необходимое и достаточное условие экстремума.

46. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.

47. Основные понятия теории вероятностей. Пространство элементарных событий.

48. Основные формулы для вычисления вероятностей.

49. Независимые и зависимые события. Условная вероятность.

50. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

51. Формула Бернулли.

52. Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

53. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

54. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

55. Основные законы распределения случайных величин: равномерное, Бернулли, Пуассона, экспоненциальное.

56. Функция распределения и плотность двумерной случайной величины.

57. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.

58. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ

Институт государственной службы и управления персоналом

Вариант 15

Наши рекомендации

N задачи
N варианта задачи