Матрицы. определители

3.1.1) ; 2) . 3.2.1) -1; 2) ; 3) ; 4) .

3.3. . 3.4.1) не существует; 2) ; 3) ; 4) не существует.

3.5.1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.6. , т.к., если , , , .

3.7.1) ; 2) .

3.8.1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3.9.1) Вид определяется неоднозначно, например: ;

2) .

3.10.1) ; 2) .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

3.12. 1) 1; 2) -2; 3) -1; 4) 0; 5) -3; 6) 13.

3.14.1) 40; 2) -3; 3) abc; 4) abc; 5) ; 6) 1; 7) -i; 8) 9i+15.

3.16.3) Умножим элементы 1-го столбца на 10 и прибавим по 2-му столбцу.

на определитель, исходный определитель делится на 19.

3.17.1) 1; 2) 5; 3) 0; 4) 15; 5) -2i; 6) abcd; 7) ; 8) .

Глава 4.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

4.2.1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.3.1) r = 0; 2) r = 1; 3) r = 2; 4) r = 2; 5) r = 2; 6) r = 2; 7) r = 2; 8) r = 4.

4.4.матрицы с нулевыми элементами.

4.5.матрицы со всеми пропорциональными строками или столбцами, а также матрицы, имеющие одну ненулевую строку или столбец.

4.6. .

r = n (числу ненулевых элементов).

4.7.1) возможно, не всегда; 2) возможно, выполняется не всегда;

3) возможно, выполняется не всегда; 4) возможно, выполняется не всегда;

5) возможно, выполняется не всегда; 6) возможно, выполняется всегда.

4.8.1) (1,4,-7,7); 2) (0,0,0,0).

4.9.1) система линейно независима; 2) система линейно независима;

3) система линейно независима; 4) система линейно зависима;

5) система линейно зависима; 6) система линейно независима.

Глава 5.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1.1) система совместна, х =1, у =1, z =1; 2) система совместна, x = -1, y = 0, z = 1;

3) система несовместна; 4) система несовместна; 5) система совместна, 6) система совместна,

5.2.1) общее решение: , ; частное решение: ;

ФСР: , ;

2) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: , , ;

3) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 3-1=2, , : ; , : , ;

4) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 3, , , : ; , , : , , , : ; + ;

5) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 4, , , , : ; , , , : , , , , : ; , , , : ;

+ + ;

6) общее решение: ; частное решение: ; ФСР: n – r = 3-1=2, , , ;

, , , .

5.3.1) система совместная, неопределенная. Общее решение: х = (1, -С, С);

2) система совместная, неопределенная. Общее решение: .

5.4.1) определена, , r (А) = 3; 2) несовместна, а= -3, ;

3) неопределенна а= -3, .

5.5.1) определена, при , r (А) = 3; 2) несовместна, при а= -2;

3) неопределенна, при а= 1.

Глава 6.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

6.1. 1) , , ;

2) , , ;

3) ; 4) ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , комплексные;

8) ; ;

9) ,

10) , , ;

11) , , ;

12) , , .

6.2.

собственные значения равны диагональным элементам.

6.4.

по аналогии с 6.2.

6.5. .

6.6.1) является; 2) не является; 3) не является; 4) является; 5) является; 6) является;

7) не является; 8) является; 9) является; 10) не является; 11) не является; 12) является;

13) является; 14) является; 15) является; 16) является; 17) не является; 18) является;

19) не является; 20) является.

Глава 7.

БАЗИС. МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.

7.1. 1) ненулевой вектор, лежащий на прямой;

2) любые два неколлинеарных вектора на плоскости;

3) две матрицы, например и ;

4) три многочлена, например 1, х, .

7.2.1) базис состоит из ; 2) базис состоит из .

7.3.1) Х(1/3,1/3,1/3); 2) X(0,-5,4).

7.4.1) f(t) = (5,2,-1,1); 2) f(t) = (4,2,-1,1); 3) f(t) = (5,2,-1,-5).

7.5.1) , базис, например,

7.6.1) ; 2) .

7.7.1) ; 2) .

7.8.1) с = (2,2,1,0), d= (-5,2,6,1); 2) с = (1,-2,1,0), d= (17/6,-2/3,-25/6,1).

7.9.1) один из векторов ;

2) , .

7.10.Процессом ортогонализации системы векторов называется переход от этой системы к новой системе , построенной следующим образом:

где если и - любое число, если .

1) , , ;

2) , .

Глава 8.

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ.

8.1. . 8.2.1) ; 2) .

8.3.1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

8.5.1) , положительно определенная; 2) , знакопеременная;

3) , положительно определенная; 4) , знакопеременная;

5) , знакопеременная; 6) , знакопеременная;

7) , положительно определенная; 8) знакопеременная.

Глава 9.