Практические занятия по разделам 7, 8.

«Числовые ряды. Функциональные ряды. Ряды Фурье».

Ряды Фурье

Практические занятия по разделу 9.

«Теория вароятностей. Элементы математической статистики».

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Стохастическим называется эксперимент, результаты которого заранее (до его проведения ) не известны.

Случайным событием называется явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента.

Случайные события обозначают большими буквами А, В, С и т.д.

Предположим, что среди всех возможных событий, которые в данном опыте могут произойти или не произойти, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, которые обладают следующими свойствами:

1) взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

2) каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А.

Элементарные события обозначают греческой буквой , совокупность элементарных событий называют пространством элементарных событий и обозначают буквой .

Алгебра событий

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Тогда ему благоприятствует любое событие , достоверное событие будем обозначать .

Невозможнымсобытием будем называть событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Невозможное событие будем обозначать символом .

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовем событие А+В (или А В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А или В. Сумме событий соответствует объединение множеств А и В.

Свойства суммы событий:

1) А+ =А;

2) А+ = ;

3) А+А=А;

4) А+В=В+А.

Произведением(или пересечением) двух событий А и В назовем событие АВ (или А В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств А и В.

Свойства произведения событий:

1) А ;

2) А =А;

3) АА=А;

4) АВ=ВА.

Два события назовем несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно. Если А и В несовместны, то АВ= . Элементарные события попарно несовместны , при .

Событие назовем противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидно, что выполняются следующие равенства

, , .

Разностью событий А и В назовем событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Отметим очевидные соотношения: ,

.

Введенные операции сложения и умножения обладают свойствами:

1) А(В+С)=АВ+АС;

2) А(ВС)=(АВ)С.

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому эксперименту и пусть - некоторая система случайных событий.

Систему событий назовемалгеброй событий, если выполняются следующие условия:

1) ;

2) если , то ;

3) если , , то , .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Эксперимент повторили n раз и пусть событие А наблюдалось m(А) раз.

Относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов назовем отношение:

.

Относительная частота определяется после проведения серии экспериментов и может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу.