Практические занятия по разделу 1.

«Элементы линеной алгебры и аналитической геометрии.

Векторная алгебра».

МАТРИЦЫ

Основные понятия.

Определение 1. Матрицей размерности Практические занятия по разделу 1. - student2.ru (читается Практические занятия по разделу 1. - student2.ru на Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из Практические занятия по разделу 1. - student2.ru строк и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru столбцов:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Числа Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называются элементами матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , индекс Практические занятия по разделу 1. - student2.ru указывает номер строки, индекс Практические занятия по разделу 1. - student2.ru - номер столбца, на пересечении которых находится элемент Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . Так, например, элемент Практические занятия по разделу 1. - student2.ru стоит на пересечении четвертой строки и пятого столбца.

Для обозначения матрицы используются следующие символы:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Определение 2. Матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется квадратной матрицей Практические занятия по разделу 1. - student2.ru - ого порядка, если Практические занятия по разделу 1. - student2.ru (число строк равно числу столбцов):

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Элементы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , где Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , называются диагональными элементами матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 3. Квадратная матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется диагональной, если Практические занятия по разделу 1. - student2.ru (все элементы матрицы, за исключением, быть может, диагональных, равны нулю):

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 4. Диагональная матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется единичной, если все ее диагональные элементы равны единице ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ). Единичная матрица обычно обозначается буквой Практические занятия по разделу 1. - student2.ru :

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Для обозначения единичной матрицы используют также символ Кронекера:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru символ Кронекера.

Определение 5. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Матрицей – столбцом называется матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , состоящая из одного столбца (размерность Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ):

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Матрицей – строкой называется матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , состоящая из одной строки (размерность Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ):

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 6. Две матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называются равными, если

1) размерности матриц совпадают;

2) соответствующие элементы матриц равны:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Пусть задана матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru размерности Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . Заменим 1-ую строку на 1-ый столбец, 2-ую строку на 2-ой столбец и т.д., Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ую строку на Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ый столбец. Такая операция называется транспонированием матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 7. Матрица, полученная в результате транспонирования, называется транспонированной по отношению к матрице Практические занятия по разделу 1. - student2.ru и обозначается символом Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Пример. Транспонировать матрицу

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ,

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

2. Определители второго и третьего порядков.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Этой матрице соответствует число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Для обозначения определителя используют символы:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 1. Определителем 2-го порядка матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется число:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . (1)

Например,

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Введем понятие определителя 3-го порядка. Пусть

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 2. Минором элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется определитель, который получается из матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru вычеркиванием Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ой строки и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ого столбца. Минор элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru обозначается символом Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Например, для элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru минором служит определитель

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 3. Алгебраическим дополнением Практические занятия по разделу 1. - student2.ru элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется его минор, умноженный на Практические занятия по разделу 1. - student2.ru :

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . (2)

В качестве примера вычислим алгебраическое дополнение элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru матрицы

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

В нашем случае Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , вычеркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 4. Определителем 3-го порядка матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется число

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . (3)

Поясним это определение на примере:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , тогда

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Для вычисления определителя 3-го порядка можно использовать, так называемое, «правило треугольника», а именно:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Например,

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

3. Определители n-ого порядка.

Введем теперь понятие определителя 4-ого порядка. Аналогично определениям минора и алгебраического дополнения элементов матрицы 3-го порядка, можно ввести эти понятия для элементов матрицы 4-го порядка :

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ,

понимая под минором Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ) ее элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru определитель матрицы 3-го порядка, которая получается вычеркиванием из матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ой строки и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ого столбца, а под алгебраическим дополнением Практические занятия по разделу 1. - student2.ru – произведение

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 1. Определителем 4-ого порядка называется число

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . (1)

Аналогичным образом можно ввести понятие определителя 5-ого порядка, опираясь на определение определителя 4-ого порядка.

В общем случае, предположим, что мы определили, что такое определитель

( n- 1)-ого порядка, тогда можно ввести понятиеопределителя n-ого порядка.

Определение 2. Определитель n-ого порядка квадратной матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ого порядка

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

есть число

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , (2)

где Практические занятия по разделу 1. - student2.ru - алгебраическое дополнение элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ,

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru - минор элемента Практические занятия по разделу 1. - student2.ru матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , т.е. определитель матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ого порядка, которая получается вычеркиванием из матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru 1–ой строки и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ого столбца.

Формула (2) называется разложением определителя Практические занятия по разделу 1. - student2.ru по элементам 1-ой строки.

В качестве примера вычислим определитель 4-ого порядка, опираясь на его определение.

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

Свойства определителей.

1. При транспонировании квадратной матрицы величина ее определителя не меняется:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

2. Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

4. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), т.е. строку (столбец) состоящую только из нулей, равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например,

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

(за знак определителя мы вынесли «2» - общий множитель элементов 1-ой строки).

6. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

7. Если каждый элемент Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ой строки ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ого столбца) определителя Практические занятия по разделу 1. - student2.ru представлен в виде суммы двух слагаемых, то

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , где

в определителях Практические занятия по разделу 1. - student2.ru и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru все строки (столбцы), кроме Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ой строки ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ого столбца) такие же, как и в определителе Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ; Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ая строка ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ый столбец) в определителе Практические занятия по разделу 1. - student2.ru состоит из первых слагаемых Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ой строки ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ого столбца) определителя Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , а в определителе Практические занятия по разделу 1. - student2.ru - из вторых слагаемых этой строки (столбца).

Поясним сказанное на примере.

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

В силу свойства 7

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

8. Величина определителя не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Например,

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Каждый элемент 2-го столбца мы умножили на «2» и прибавили к соответствующему элементу 3- его столбца. Предлагаем читателю вычислить каждый из определителей и убедиться в их равенстве.

9. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru (1)

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru (2)

Равенство (1) называется разложением определителя Практические занятия по разделу 1. - student2.ru по элементам Практические занятия по разделу 1. - student2.ru –ой строки, а равенство (2) - разложением по элементам Практические занятия по разделу 1. - student2.ru -ого столбца.

10. Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения (см. определение 3 §2) элементовдругой строки (столбца) равна нулю.

Опираясь на свойства 8 и 9 можно преобразовать заданный определитель так, чтобы все элементы какой-либо строки (столбца), кроме, быть может, одного, равнялись нулю, а затем разложить определитель по элементам этой строки (столбца), что значительно облегчит вычисления.

Пример. Преобразуем определитель

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

так, чтобы в первой строке все элементы, кроме, быть может, одного, стали нулями. Мысленно умножим элементы первого столбца определителя на «–3» ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ) и прибавим результат к соответствующим элементам третьего столбца, получим определитель

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Теперь умножим все элементы 1-го столбца определителя Практические занятия по разделу 1. - student2.ru на «–2» ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ) и прибавим результат к соответствующим элементам второго столбца:

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . Практические занятия по разделу 1. - student2.ru

В силу свойства 8

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Алгебра матриц.

Определение 1. Суммой матриц Практические занятия по разделу 1. - student2.ru и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru одинаковой размерности Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru размерности Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц Практические занятия по разделу 1. - student2.ru и Практические занятия по разделу 1. - student2.ru :

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , Практические занятия по разделу 1. - student2.ru . (1)

Пример 1.

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Определение 2. Произведением матрицы Практические занятия по разделу 1. - student2.ru на число Практические занятия по разделу 1. - student2.ru называется матрица Практические занятия по разделу 1. - student2.ru размерности Практические занятия по разделу 1. - student2.ru , для которой Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ( Практические занятия по разделу 1. - student2.ru ).

Пример 2.

Практические занятия по разделу 1. - student2.ru .

Наши рекомендации