Аналитическая геометрия в пространстве.
Плоскость.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку 
, перпендикулярно вектору 
имеет вид:
(1)
2. Общее уравнение плоскости:
, (2)
где 
- нормальный вектор плоскости.
3. Уравнение плоскости в отрезках:
, (3)
где a, b, c отрезки, отсекаемые плоскостью (3) на координатных осях Ox, Oy, Oz соответственно.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
:
(4)
5. Углом между плоскостями 
вычисляется по формуле:
(5)
Условие параллельности плоскостей:
(6)
Условие перпендикулярности плоскостей :
(7)
6. Расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:
(8)
Прямая линия в пространстве.
1. Общее уравнение прямой:
(9)
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору 
, имеет вид:
(10)
Уравнение (10) называется каноническим.
3. Пусть прямые заданы уравнениями:
и 
(11)
Тогда угол между этими прямыми определяется как угол между их направляющими векторами 
и 
.
Угол между прямыми (16) определяется по формуле:
(12)
Условие параллельности прямых:
(13)
Условие перпендикулярности прямых:
(14)
Прямая линия и плоскость в пространстве.
1. Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
(15)
Условие параллельности прямой и плоскости:
(16)
Условие перпендикулярности:
(17)
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой (12), тогда координаты точки пересечения находятся из системы уравнений:
(18)
Примеры:
1. Даны точки 
. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярно вектору 
.
Решение:
Воспользуемся уравнением: .
Нормальный вектор 
.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 
и перпендикулярно к прямым:
(1)
(2)
Решение:
Известны направляющие векторы прямых (1) и (2): 
.
Поскольку искомая прямая перпендикулярна к прямым (1) и (2), то она перпендикулярна к векторам 
. Тогда за направляющий вектор 
можно взять 
,
Уравнение искомой прямой имеет вид: 
.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Треугольник 
задан координатами своих вершин 
.
Требуется:
a) Написать уравнение стороны 
;
b) Написать уравнение высоты 
и вычислить ее длину;
c) Найти угол между высотой и медианой 
;
2. Прямые 
заданы уравнениями: 
.
Найти:
a) Расстояние 
между прямимы;
b) Точку пересечения прямых;
3. Написать уравнение плоскости P, проходящей через точки 
и параллельно вектору 
.
4. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно:
a) Вектору 
;
b) Прямой 
;
c) Прямой 
;
5. Задана плоскость 
и прямая 
, причем 
.
Вычислить:
a) 
;
b) координаты точки пересечения прямой и плоскости;
Пример решения типового расчета.
Задание №1.
Даны вершины 
треугольника.
Найти:
1. длину стороны ;
2. внутренний угол 
в радианах с точностью до 0.001;
3. уравнение высоты, проведенной через вершину 
;
4. уравнение медианы, проведенной через вершину ;
5. точку пересечения высот треугольника;
6. длину высоты, опущенной из вершины ;
7. систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.
8. сделать чертеж;
Решение:
1. Расстояние между точками 
определяется на плоскости по формуле
(1).
Тогда длина стороны находится 
, 
.
2. Угол 
между прямыми, угловые коэффициенты которых равны 
, вычисляются по формуле
(2),
где 
- угловой коэффициент , 
- угловой коэффициент 
.
Найдем уравнение прямых и по формуле
(3).
: 
.
Чтобы найти угловой коэффициент запишем уравнение в виде: 
.
Значит 
.
Уравнение прямой также находим по формуле (3).
: 
; 
; 
;
Применяя формулу (2), имеем
.
Используя таблицу перевода градусной меры в радианную, находим 
рад.
3.Запишем уравнение высоты, проведенной через точку , используя уравнение прямой, проведенной по точке и направляющему вектору 
: 
.
В качестве направляющего вектора может быть выбран нормальный вектор прямой , т.е. 
.
Уравнение высоты 
имеет вид: 
.
Аналогично найдем уравнение высоты .
Направляющий вектор высоты 
.
Из курса средней школы, известно, что три высоты пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения высот и , нужно решить систему уравнений.
. Точка пересечения высот 
.
4. Известно, что медиана представляет отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ( ). Найдем координаты середины отрезка по формулам:
;
.
Уравнение медианы 
находим по формуле (3):
.
5. Длина высоты - расстояние от точки до прямой : 
.
Воспользуемся формулой расстояния 
от точки 
до прямой 
Получим 
ед.
6. Запишем с помощью системы неравенств множество точек, лежащих внутри треугольника с вершинами . Уравнения сторон треугольника:
:
: 
Множество внутренних точек можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой и содержит точку , вторая ограничена прямой 
и содержит точку , третья ограничена прямой и содержит точку 
.
Подставим в левую часть уравнения : координаты точки 
.
Получим 
.
Следовательно, неравенство для первой полуплоскости будет 
.
Найдем полуплоскость, ограниченную прямой , 
.
Второе неравенство: 
.
Аналогично находится третья полуплоскость. : , 
.
Третье неравенство: 
.
Таким образом, множество внутренних точек треугольника определяется системой неравенств: 
.
Задача №2.
Докажите, что векторы 
компланарны и найдите линейную зависимость между ними.
Решение:
Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Вычислим смешанное произведение векторов 
:
Следовательно данные векторы компланарны.
Компланарность означает их линейную зависимость. Найдем эту зависимость. Выразим векторы 
через векторы 
и 
, т.е. 
.
Запишем последнее равенство в координатах:
или 
Из равенства матриц получили систему линейных уравнений:
Решим эту систему методом Гаусса:
или 
.
Ответ: .
Задача №3.
Даны вершины пирамиды 
: 
.
Найти:
1. длину ребра ;
2. уравнение и площадь грани ;
3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины 
на грань ;
4. угол между ребром 
и гранью ;
5. объем пирамиды;
Решение:
1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки 
:
(1)
Подставим координаты точек 
в (1), получим
: 
: 
.
Длину ребра можно рассматривать как длину вектора 
.
Длина вектора определяется по формуле: 
.
Тогда 
.
2. Площадь грани находим, используя векторное произведение 
; 
Уравнение грани представляет собой уравнение плоскости, проходящей через три точки:
(2)
Подставляя в формулу (2) координаты точек 
, получим
- уравнение грани .
3. Уравнение высоты в данном случае представляет собой уравнение прямой в пространстве.
Используем каноническое уравнение прямой:
, (3)
- координаты точки 
,
- координаты направляющего вектора прямой, которая перпендикулярна грани .
Следовательно, вектор нормали плоскости коллинеарен вектору высоты из вершины .
Уравнение высоты имеет вид:
Длина высоты 
- расстояние от точки до плоскости , воспользуемся формулой:
ед.
4. Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами 
и 
.
5. Объем пирамиды равен:
; ;
4.3. Типовой расчет:
Задача 1:Даны вершины 
, 
и 
треугольника.
Найти:
1. длину стороны ;
2. внутренний угол в радианах с точностью до 0.001;
3. уравнение высоты, проведенной через вершину ;
4. уравнение медианы, проведенной через вершину ;
5. точку пересечения высот треугольника;
6. длину высоты, опущенной из вершины ;
7. систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.
8. сделать чертеж;
1. 
, 
и 
;
2. , 
и 
;
3. 
, 
и 
;
4. 
, 
и 
;
5. 
, 
и 
;
6. , и ;
7. 
, 
и ;
8. 
, 
и 
;
9. 
, 
и 
;
10. 
, 
и 
;
11. 
, 
и 
;
12. 
, 
и 
;
13. 
, 
и 
;
14. , 
и 
;
15. 
, 
и 
;
16. 
, 
и 
;
17. 
, 
и 
;
18. 
, 
и 
;
19. 
, 
и 
;
20. 
, и 
;
21. 
, 
и 
;
22. 
, 
и 
;
23. 
, 
и 
;
24. 
, и 
;
25. , 
и ;
26. 
, 
и 
;
27. 
, 
и 
;
28. , 
и 
;
29. 
, 
и 
;
30. 
, 
и 
;
Задача 2: Докажите, что векторы компланарны и найдите линейную зависимость между ними.
1. 
, 
и 
;
2. 
, 
и 
;
3. 
, 
и 
;
4. 
, 
и 
;
5. 
, 
и 
;
6. , 
и 
;
7. 
, 
и 
;
8. 
, 
и 
;
9. 
, 
и 
;
10. 
, 
и 
;
11. 
, 
и 
;
12. 
, 
и 
;
13. 
, 
и ;
14. 
, 
и 
;
15. 
, 
и 
;
16. 
, 
и 
;
17. 
, 
и ;
18. 
, и 
;
19. 
, 
и 
;
20. 
, 
и 
;
21. 
, 
и 
;
22. 
, 
и 
;
23. 
, 
и 
;
24. , и ;
25. 
, 
и 
;
26. 
, 
и ;
27. 
, 
и 
;
28. 
, 
и 
;
29. , и 
;
30. 
, 
и ;
Задача 3:
Найти:
1. длину ребра ;
2. уравнение и площадь грани ;
3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань ;
4. угол между ребром и гранью ;
5. объем пирамиды;
1. 
, 
, 
и 
;
2. 
, 
, 
и ;
3. 
, 
, и 
;
4. 
, , и ;
5. , , 
и ;
6. , , и 
;
7. , , и ;
8. , , и ;
9. , , и ;
10. , , и ;
11. , , и ;
12. 
, , и ;
13. , , и ;
14. , , и ;
15. , , и ;
16. , , и ;
17. , , и ;
18. , , и ;
19. , , и ;
20. , , и ;
21. , , и ;
22. , , и ;
23. , , и ;
24. , , и ;
25. , , и ;
26. , , и ;
27. , , и ;
28. , , и ;
29. , , и ;
30. , ,