Аналитическая геометрия в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве.

Если указать способ, позволяющий устанавливать положение точек пространства заданием чисел, то говорят, что в пространстве введена система координат.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком – нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс, вторую – осью ординат, третью – осью аппликат.

Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс – буквой Ох, ось ординат – Оу, ось аппликат – буквами Оz.

Плоскость Oyz разделяет все пространство на два полупространства; то из них расположено в положительном направлении оси Ох, назовем ближним, другое – дальним.

Точно так же плоскость Oxz разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оу, назовем правым, а другое – левым.

И плоскость Oxy разделяет все пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Oz, назовем верхним, другое - нижним.

Три плоскости Оху, Оxz и Oyz вместе разделяют пространство на 8 частей: их называют координатными октантами и нумеруют по определенному правилу. Первым октантом называют тот, который лежит одновременно в ближнем, правом и верхнем полупространствах, вторым – лежащий в дальнем, правом и верхнем полупространствах, третьим – лежащий в дальнем, левом и верхнем полупространствах; пятый, шестой, седьмой, восьмой октанты те, которые находятся в нижнем полупространстве соответственно под первым, вторым, третьим и четвертым.

2. Уравнение плоскости:

• общее уравнение плоскости, частные случаи;

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство.

Считая заданной некоторую декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную плоскость α и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем любую М₀ (x₀, y₀, z₀) лежащую на плоскости α, выберем любойвектор неравный 0 и перпендикулярный к плоскости α. Выбранный вектор обозначим буквой n., его проекции на оси координат буквами А, В, С.

Пусть M(x, y, z) - любая точка. Она лежит на плоскости α, в том и только в том случае, когда перпендикулярна .

Получим уравнение плоскости α, если выразим это условие через координаты x, y, z.

, .

Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения, т.е. суммы попарных произведений соответствующих координат этих векторов. Т.о., перпендикулярна в том и только в том случае, когда

(1) – это и есть искомое уравнение плоскости α,

так как ему удовлетворяют x, y, z т. М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости α.

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде . Обозначая число , получим

Плоскость α действительно определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения первой степени, именно случаи, когда какие – либо из коэффициентов A, B, C, D обращаются в 0.

1) D = 0; - определяет плоскость, проходящую через начало координат. Действительно числа x = 0, y = 0, z = 0 удовлетворяют уравнению => (0; 0; 0) Î плоскости.

2) С = 0; - определяет плоскость параллельную оси Oz (или проходящую через эту ось). Действительно, в этом случае нормальный вектор имеет нулевую проекцию на ось Oz (С = 0); следовательно, этот вектор перпендикулярен Oz, а сама плоскость параллельна ей (или проходит через нее).

3) B = 0 и С = 0; уравнение Ax + D = 0 и определяет плоскость, параллельные координаты плоскости Oxz ( или совпадающую с ней). Действительно, в этом случае нормальный вектор имеет нулевые проекции на оси Oy и Oz следовательно и , а сама плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Ax + D = 0 , параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней.