Уравнения высших порядков.случаи понижения порядка

14.4.2. Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.
14.4.2.1. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄.
14.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда z^(n-k) = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахожденияz(x) последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x).
Пример: решить задачу Коши: .
Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть z = uv, тогда , , , следовательно, . Относительно y(x)- это уравнение . Мы можем последовательно находить и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C₁: . Теперь . Из условия при x = 1 находим C₂: ; из условия y = 3 при x = 1 находим C₃: . Окончательный ответ: .
14.4.2.3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x.Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: . Старшие производные y по xвычисляются по правилу дифференцирования сложной функции: .

Аналогично,
Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C₁) этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y(x, C₁, C₂) будет общим решением исходного уравнения.
Примеры: 1. Задача Коши .
Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , , тогда . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений , поэтому рассматриваем два случая:
1. ;
2. Это - уравнение с разделяющимися переменными: . Получено уравнение , решаем его: . Это общее решение уравнения, в данном случае оно включает в себя решение y = C при C₂ = 0. Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из . Далее, из следует, что , т.е. C₂ = 0. Частное решение - , т.е. y = 2.
Пример 2.
Решение: . Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть , то получим . Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению . Находим : . Ответ: решение задачи Коши .

14.4.2.4. Применение интегрируемых комбинаций.Иногда удаётся заметить, что в уравнении правая часть является производной некоторой функции , т.е. уравнение имеет вид . Интегрируя по x, получим уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения (так называемый первый интеграл уравнения): .
Пример: . Если переписать это уравнение в виде и сообразить, что справа стоит производная функции , то получим , откуда . Это уравнение не содержит явно y, поэтому .

ЛОУ.Общие св-ва решений

3. Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид: (8) то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Коэффициенты и и правая часть этого уравнения непрерывны. Если правая часть уравнения , то уравнение называют линейным неоднородным. Если же , то уравнение имеет вид (9) и называется линейным однородным. Пусть и –какие–либо частные решения уравнения (9), то есть не содержат произвольных постоянных. Теорема 1. Если и –два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка, то так же является решением этого уравнения. Так как и –решения уравнения (9), то они обращают это уравнение в тождество, то есть и (10) Подставим в уравнение (9). Тогда имеем: в силу (10). Значит, –решение уравнения. Теорема 2. Если –решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C–постоянная, то также является решением этого уравнения. Доказательство. Подставим в уравнение (9). Получим: то есть –решение уравнения. Следствие. Если и –решения уравнения (9), то так же является его решением в силу теорем (1) и (2). Определение. Два решения и уравнения (9) называются линейно зависимыми (на отрезке ), если можно подобрать такие числа и , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих решений тождественно равна нулю на , то есть если . Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения и называются линейно независимыми (на отрезке ). Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, то есть (или наоборот ). В самом деле, если и –линейно зависимы, то , где по меньшей мере одна постоянная или отлична от нуля. Пусть, например, . Тогда , , Обозначая получим , то есть отношение –постоянно. Обратно, если то . Здесь коэффициент при , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что и являются линейно зависимыми. Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если и –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным. Например, функции и при –линейно независимы, так как , так как . А вот функции 5x и x–линейно зависимы, так как их отношение . Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения. Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) является решением уравнения (9) при любом выборе постоянных и . Если решения и –линейно независимы, то –общее решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной. В тоже время, если бы и были линейно зависимыми решениями, то уже не являлось бы общим решением. В этом случае , где α–константа. Тогда , где является постоянной. не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной. Итак, общее решение уравнения (9): (11) где и –линейно независимые частные решения этого уравнения, а и –произвольные постоянные.

19.Понятие линейно-независимой системы функций. определитель Вронского. достаточное условие линейной независимости. понятие фундаментальной системы функции. Примеры. Необходимое и достаточное условие отличия от нуля определителя Вронского на отрезке [а,в]

Понятие линейно-независимой системы функций

Функции называются линейно зависимыми на , если одна из них является линейной комбинацией других . Другими словами, функции называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что

. (4)

Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции называются линейно независимыми на .

Система из линейно независимых на интервале решений

однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на коэффициентами называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.

Согласно теореме 1 произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма

, (5)

где - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Но оказывается, что и обратно, всякое решение дифференциального уравнения (3) на интервале есть некоторая линейная комбинация из указанных (независимых между собой) его частных решений (см. ниже теорему 4), образующих фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где - произвольные постоянные, а - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.

Отметим, что общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения однородного уравнения

. (6)

В самом деле,

.

С другой стороны, если есть произвольное решение уравнения (1), то

,

и, следовательно, есть решение однородного уравнения; но тогда существует такие числа , что

,

т. е. для этих чисел выполняется равенство (6).

Определитель Вронского.

Теорема 2. Если функции линейно зависимы на и имеют производные до -го порядка, то определитель

. (7)

Яндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначается символом .

Доказательство. Так как функции линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество (4) на . Дифференцируя его раз, получим систему уравнений

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 2 вытекает, что если хотя бы в одной точке , то функции линейно независимы на .

Пример 2. Функции линейно независимы на любом , так как

.

Пример 3. Функции линейно независимы на любом , если - различные числа (действительные или комплексные).

В самом деле.

,

так как последний определитель есть определитель Вандермонда, который при различных не равен нулю.

Пример 4. Функции линейно независимы на любом .

Так как и

,

то линейная независимость указанных функций вытекает из второго примера.

Теорема 3. Для того чтобы решения линейного дифференциального однородного уравнения с непрерывными коэффициентами были линейно независимыми на , необходимо и достаточно, чтобы для всех .

Доказательство. 1) Если на , то функции линейно независимы независимо от того, являются они решениями уравнения или нет (см. замечание).

2) Пусть являются линейно независимыми функциями на и являются решениями уравнения .

Докажем, что всюду на . Допустим противное, что существует точка , в которой . Выберем числа , одновременно не равные нулю, так, чтобы они были решениями системы

(8)

Это можно сделать, так как определитель системы (8) есть . Тогда в силу теоремы 1 функция будет решением уравнения с нулевыми начальными условиями (по (8))

.

Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное решение . В силу теоремы существования и единственности решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, может быть только одно, следовательно, на т. е. функции линейно зависимы на , что не предполагалось. Теорема доказана.

Если - разрывные функции в интервале, где мы ищем решение, то уравнение может иметь не одно решение, удовлетворяющее начальным условиям , и тогда возможно, что на .

Пример 5. Легко проверить, что функции

линейно независимы на и для них на .

Это связано с тем, что функция является общим решением уравнения

,

где разрывна в точке . Для этого уравнения теорема существования и единственности не имеет места (в окрестности точки ). Не только функция , но и функция является решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим условиям и при .

Структура общего решения.

Яндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com

Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция

, (9)

где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения , т. е. сумма (9) при любых , есть решение этого уравнения и, обратно, всякое решение этого уравнения представимо в виде суммы (9) при соответствующих значениях .

Доказательство. Мы уже знаем, что сумма (9) при любых есть решение уравнения . Пусть, обратно, есть произвольное решение этого уравнения. Положим

. (10)

Для полученных чисел составим линейную систему уравнений относительно неизвестных чисел :

(11)

Определитель системы (11) не равен нулю, так как функции — линейно независимые на решения уравнения . Поэтому существует единственная система чисел , удовлетворяющих уравнениям (11). Подставляя их в (9), получим решение нашего уравнения в виде

,

удовлетворяющее тем же начальным условиям (10), которым удовлетворяет . Но тогда на основании теоремы существования и единственности имеет место равенство . Теорема доказана.

Таким образом, чтобы найти общее решение однородного уравнения , достаточно найти какие-нибудь линейно независимых решений этого уравнения, и тогда общее решение будет их линейной комбинацией (9). Напомним, что любую совокупность из линейно независимых частных решений уравнения мы условились называть фундаментальной системой решений этого уравнения.

Возникает вопрос, всегда ли существует фундаментальная система (3) с непрерывными коэффициентами? Покажем, что существует.

Зададим векторов

Каждому из этих векторов приведем в соответствие решение уравнения (3). Именно, пусть есть решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Определитель Вронского для этой системы решений при , очевидно, есть определитель матрицы, составленной из векторов . Он равен 1:

.

Но тогда система решений линейно независима, потому что для зависимой системы определитель Вронского был бы тождественно равен нулю.

20.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Ответ на вопрос 21-23

4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение , (8) где – вещественные постоянные. Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8): (9) Пусть - корни уравнения (9), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи: а) - вещественные и различные. Общим решением однородного уравнения будет ; б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные, т.е. , тогда общее решение будет в) если корни характеристического уравнения комплексные (k=a±bi), то общее решение имеет вид . Пример 8. Решить уравнение, y"-4y¢+3y=0, y(0)=6, y¢(0)=10. Решение. Составим характеристическое уравнение . Решим . - корни различны. Значит, . Используя начальные условия, определим , так как y(0)=6 и y¢(0)=10, то и . Решаем систему: Получаем , тогда частное решение имеет вид: . Пример 9. Решить уравнение y"+9y=0. Решение. Составим характеристическое уравнение . Решаем его: , отсюда . Корни характеристического уравнения комплексные: α=0, β=3. Тогда общее решение имеет вид или .

24.Линейные неоднородные уравнения. Принцип суперпозиции. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n –го порядка

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

с непрерывными коэффициентами a_n-1(x), a_n-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) и непрерывной правой частью f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных дифференциальных уравнений.

1. Если y₁(x) и y₂(x)— два решения линейного однородного дифференциального уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0

то любая их линейная комбинация y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y₁(x) и y₂(x) — два решения линейного неоднородного уравнения L(y) = f(x) , то их разность y(x) = y₁(x) − y₂ (x) является решением однородного уравнения L(y) = 0 .

3. Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

4. Если y₁(x) и y₂(x) — решения линейных неоднородных уравнений L(y) = f₁