Рассмотрим выборку с повторениями

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru способами, а другую - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru способами, то все действие можно выполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru числом способов.

Пример. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки. Имеется:

5 различных ручек,

7 различных карандашей,

10 различных линеек.

Сколькими способами можно составить требуемый набор?

Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.

Пример.Сколько существуетнаборов длины Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru из нулей и единиц?

Решение. Действием в данном случае является составление набора длины из нулей и единиц.

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Набор будет составлен, если все Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru позиций (мест) будут заполнены нулями и единицами. Действие распадается на Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru частей: заполнить первую позицию, вторую и т.д., заполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -ю позицию. Первую часть действия – написать первую компоненту - можно двумя способами: можно написать 0, а можно написать 1, написать вторую компоненту тоже можно двумя способами, и так все Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru мест в наборе: на каждом месте можно написать либо 0 либо 1:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Тогда все действие согласно комбинаторному принципу умножения можно выполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru числом способов:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru способами, а другое - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru способами, то оба действия можно выполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru числом способов.

Пример.

Выборкой объема Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru из множества Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru называется всякая последовательность из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов множества Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями

При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному).

Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением , при этом выборка называется упорядоченной, в противном случае – неупорядоченной.

Рассмотрим бесповторную выборку

Расположение Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru различных элементов в определенном порядке называется перестановкойбез повторений из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов.

Например, на множестве из трех элементов Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru возможны следующие перестановки: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Число различных перестановок без повторений из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов обозначается Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и равно Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , т.е.

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Сочетанием без повторений из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов по Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru называется неупорядоченное Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементное подмножество Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементного множества. Число сочетаний без повторений из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов по Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru равно Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru :

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить бригаду из трех человек для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются, то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами.

Размещением без повторений из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов по Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru называется упорядоченное Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементное подмножество Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементного множества.

Теорема.

Число размещений без повторений из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов по Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru равно:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Доказательство. Чтобы получить упорядоченное Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементное подмножество Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементного множества, нужно выполнить два этапа: выбрать Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru элементов из Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru (это можно выполнить Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru числом способов) и затем упорядочить выбранные элементы (это можно сделать Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru числом способов). Согласно комбинаторному принципу умножения, все действие - получить упорядоченное Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементное подмножество Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru -элементного множества – можно Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru числом способов.

Свойства сочетаний без повторений:

1) Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Доказательство. Поскольку Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , то утверждаемое очевидно.

2) Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru (без доказательства).

Значения Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Закономерность его построения такова: складывая две рядом стоящие числа, получаем число, стоящее ниже между ними. Первая строчка – значения числа сочетаний из 1 ( Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ), вторая – из 2 ( Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - слева направо), и т.д.

Примеры.

1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1) все исходы опыта должны быть равновероятными;

2) опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример. Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади) к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru этой области равна:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , где

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Пусть первый пришел в некоторый момент времени Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассуждая так для любого момента времени Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён» нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятым в настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).

Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.

Относительной частотой появления случайного события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru называется отношение числа Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru появлений события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru в Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Очевидно, Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , для достоверного события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , для невозможного события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , для несовместных событий Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru верно следующее:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru означает появлениебубей, событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru означает появление червей, а событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - появление карты красной масти. Очевидно, события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , при появлении бубей – возле события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , а при появлении червей – возле события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Очевидно, что метка возле события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru или возле события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , т.е. Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Назовем вероятностью случайного события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru число, сопоставленное событию Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru по следующему правилу:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Для несовместных событий Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Итак,

Относительная частота Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Вероятность Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это свойство называется свойством устойчивости относительной частоты. Число, около которого группируются относительные частоты появления события при проведении большой сери опытов, может быть принято за вероятность события. Такой способ определения вероятности события называется статистическим определением вероятности.

Например, Дж. Керрих, находясь в лагере во время второй мировой войны, провел 10 серий по 1000 опытов в каждой по бросанию монетки. Относительная частота выпадений герба была следующей:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ,

что еще раз подтверждает, что вероятность выпадения герба при одном бросании монетки - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Кроме того, известно, что Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Таким образом, статистическое определение вероятности лучше всех других отражает сущность понятия вероятности случайного события, однако, отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Теорема

Если события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы, то:

1) события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы;

2) события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы;

3) события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы.

Доказательство. 1) Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Поскольку события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы, то:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Итак,

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Поскольку Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , то Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , что свидетельствует о независимости событий Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

2) Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Поскольку события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы, то:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Итак,

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Поскольку Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , то Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , что свидетельствует о независимости событий Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

3) Если события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы, то по 2) события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы; и по 1) Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы.

Определение. События Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимыв совокупности, если

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Определение. События Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru попарно независимы, если в любой паре Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru события Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru независимы.

Независимость в совокупности и попарная независимость событий – понятия разные.

Пример. Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru =«на грани есть желтый цвет»;

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru =«на грани есть белый цвет»;

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru =«на грани есть зеленый цвет»;

Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ; аналогично: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , т.е. Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Таким образом,

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Теорема. (О появлении хотя бы одного из независимых событий)

Пусть вероятность появления каждого из п событий Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , независимых в совокупности, равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность появления хотя бы одного события, равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Доказательство. Поскольку по закону Де Моргана

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ,

то

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта.

Решение. Пусть событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru означает «среди четырех вынутых карт есть хотя бы одна бубновая карта». Тогда Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru означает, что все четыре карты не бубновой масти. Вероятность того, что случайно взятая из колоды карта не бубновая - и Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , тогда Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Пример. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Если обозначить р – вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле, то вероятность промаха при одном выстреле, очевидно, равна (1 – р).

Вероятность трех промахов из трех выстрелов равна (1 – р)3. Эта вероятность равна 1 – 0,875 = 0,125, т.е. в цель не попадают ни одного раза.

Получаем: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Пример. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Решение.

Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости (событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ) равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность того, что не выпадет 6 очков (событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ) - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков, равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

- для первого стрелка: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

- для второго стрелка: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

- для третьего стрелка: Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Искомая вероятность равна:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Пример. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности следующих событий: первый выстрел, вторая осечка; первая осечка, второй выстрел, хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.

Решение. Вероятность выстрела при первом нажатии на курок в условиях задачи - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет выстрел, если первым был выстрел, - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , поскольку неизрасходованных патронов осталось 3, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных выстрелов Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Вероятность осечки при первом нажатии на курок в условиях задачи равна Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет осечка, если первой была осечка, - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , поскольку пустых гнезд осталось одно, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных осечек Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Найдем вероятность события «осечка, выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , неиспользованных патронов остается - 4 , а всего возможных гнезд – 5, т.о. вероятность выстрела при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок была осечка, - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Тогда вероятность события «осечка, выстрел» - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Найдем вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии на курок Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , пустых гнезд остается - 2 , а всего гнезд – 5, т.о. вероятность осечки при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок был выстрел, - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Тогда вероятность события «выстрел, осечка» - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Найдем вероятность хотя бы одного выстрела при двух нажатиях на курок (событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru ) . Противоположным событием является событие «ни одного выстрела при двух нажатиях на курок», т.е. две осечки. Тогда равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Найдем вероятность события «осечка, выстрел». Вероятность осечки при первом нажатии на курок Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , неиспользованных патронов остается - 4 , а всего возможных гнезд – 5, т.о. вероятность выстрела при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок была осечка, - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Тогда вероятность события «осечка, выстрел» - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Найдем вероятность события «выстрел, осечка». Вероятность выстрела при первом нажатии на курок Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , пустых гнезд остается - 2 , а всего гнезд – 5, т.о. вероятность осечки при втором нажатии на курок, если при первом нажатии на курок был выстрел, - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru . Тогда вероятность события «выстрел, осечка» - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - два выстрела подряд

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - первая осечка, второй выстрел

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - первый выстрел, вторая осечка

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - две осечки подряд

Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru или Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок. Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив бойка может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.

Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Условная вероятность выстрела при второй попытке - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru если в первый раз был выстрел, Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , если в первый раз произошел выстрел, Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - если была осечка.

Тогда:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - два выстрела подряд

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - первая осечка, второй выстрел

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - первый выстрел, вторая осечка

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru - две осечки подряд

В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru или Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

  после первого выстрела барабан не раскручивают после первого выстрела барабан раскручивают
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru
 
  Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru


Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных случаев.

 
  Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru


Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru , промах второго – событие Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Пример. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.

Решение.

а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru

Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках.

Рассмотрим выборку с повторениями - student2.ru .

б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность ра

Наши рекомендации