Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы.

Определение первообразной и неопределенного интеграла.Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла. В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,

а, k, C - постоянные величины.1) Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru 2) Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru 3) Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru

4) Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru

Таблица интегралов. В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru

Метод подстановки и метод интегрирования по частям.

Метод подстановки.Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru где х = ῳ(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.Формула интегрирования по частям следующая Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru .То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных алгебраических и тригонометрических выражений.

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ). Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru
Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru

Чтобы вычислить интеграл вида Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru , где R - рациональная функция, используется подстановка Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru . Аналогично, для вычисления интеграла вида Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru , где R - рациональная функция, используется подстановка Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru . Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции. Для вычисления интеграла вида Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы. - student2.ru



Наши рекомендации