Свойства степени с произвольным показателем.

Свойства степени с произвольным показателем.

a) Степень с натуральным показателем.

Определение: Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , где n-любое натуральное число называется степенью с натуральным показателем.

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =a·a·a…·a

n-раз

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =2·2·2·2=4·4=16

4 раза

a- основание степени

т-показатель степени

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = a 5) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

n
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = 1 6) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 7) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

4) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 8) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

б) Степень с рациональным показателем.

Определение: Под степенью с рациональным показателем Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , где q Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 понимают Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , т.е. Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , a>0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

s
r и s –рациональные числа, т.е. числа вида Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru q Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1

1) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = a 4) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 7) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

2) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = 1 5) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 8) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 9) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Определение логарифма числа и его свойства. Натуральные и десятичные логарифмы.

Показательное уравнение вида Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =b (при условии, что числа a и b положительны, где a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 ; a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 и b Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0) имеет решение, которое можно записать: Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = b
- Основное логарифмическое тождество.

Например, Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = 7; Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru ; Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 125 и т.д.

Определение: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a, называется показатель степени x, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Таким образом, Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =x

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru b ; a > 0 ; a < 0 и a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1

Операцию нахождение логарифма называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к операции возведение в степень соответствующим основаниям.

Возведение в степеньЛогарифмирование

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =25 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =2

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =0,001 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =3

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =ln3
Определение: Логарифмом по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается символом lg (читается десятичный логарифм), т.е. вместо Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru пишут lg 5. Если в основании логарифма стоит число a = e Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 2,71828… e Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 2,7, то такой логарифм называется натуральным и обозначается символом: Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru (читается натуральный логарифм), т.е. вместо записи логарифм трёх по основанию e пишут Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Особо выделим 3 формулы:

1) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =1 ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =1)

2) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =0 ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =0)

3) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =r ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =2)

Свойства логарифмов.

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени. Мы ими уже пользовались:

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = b
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = r

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru + Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Например, Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru ;

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru .

Доказательство: Введём следующие обозначения.

Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство

(введение новых переменных) простой язык

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =bc Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =y Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =b Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =z Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =c x=y+z

Доказать x=y+z

Теорема 2.Если a,b,c-положительные числа, причём a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1, то справедливо равенство

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Например, Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Доказательство:

Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство

(введение новых переменных) простой язык

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru y Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru b Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru z Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru c x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru y-z

Доказать x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru y-z

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru r Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Теорема 3.Если a и b-положительные числа, причём a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1, то для любого числа r справедливо равенство

Например, Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

lg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

Доказательство:

Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство

(введение новых переменных) простой язык

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru y Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru b Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru ry

Доказать x=ry

3.Тригонометрические функции числового аргумента(определения, табличные значения).

   
Определение №1: Если точка М числовой окружности соответствует числу t радиан, абсциссу точки М называют синусом числа t(cost),а ординату точки М называют синусом числа t.

x Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru cost Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru sint
-1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru cost Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 -1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru sint Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1  

M(x;y)

t

Определение №2: Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называется тангенсомчисла t, т.е.tg t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Определение №3: Отношение косинуса t, к синусу t называется котангенсом,т.е. ctg t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Каждому действительному числу t на числовой окружности можно поставить в соответствии определённое число cost (или sint, или tgt, или ctgt), таким образом, речь идёт о четырёх тригонометрических функциях числового аргумента, где t-любое действительное число.

Табличные значения

Тригонометрических функций

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
sint 0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 0 -1 0
cost 1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 -1 0 1
tgt 0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Не сущ. 0 Не сущ. 0
ctgt 0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 Не сущ. 0 Не сущ.

Арккосинус

   
Определение: Арккосинусом числа a (arccos a), где a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , называется такое число t на окружности (или угол) t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , косинус которого равен числу a

arccosa Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t  
cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a

0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойство арккосинуса:

arccos(-a) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru -arccosa

Функция не является ни четной, ни нечётной

Арксинус

       
Определение: Арксинусом числа a(arcsina), где -1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1, называется такое число t на окружности (или угол) t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru синус которого равен числу a

arcsina=t
sin t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойство арксинуса:

arcsin(-a)= Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arcsina

Функция не чётная

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru -1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1
t=arcsina Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Арктангенс

Определение: Арктангенсом числа a (arctga), где a-любое действительное число на линии tg, называется такое число t на окружности из интервала Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , тангенс которого равен числу a

     
arctga=t a-любое
tg t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойство арктангенса:

arctg(-a)= Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arctga

Функция не чётная

Арккотангенс

Определение: Арккотангенсом числа a (arcctga), где a-любое действительное число, называется такое число t на окружности (или угол), котангенс которого равен числу a

arcctga Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t
     
ctg t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a

0<t< Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru (0; Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru )

Свойство арккотангенса:

arcctg(-a)= Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru -arcctga

Функция не является не чётной, ни не чётной

Табличные значения арккотангенса

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arctga Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Вывод формул обратных

Тригонометрических функций.

arccos(-a) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arccosa arcsin(-a) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arcsina arctg(-a) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arctga arcctg(-a) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arcctga  

Основные тригонометрические формулы (зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, суммы и разности аргументов, двойного аргументов, понижения степени, суммы и разности тригонометрических функций, формулы приведения).

Формулы двойного аргумента.

(1) sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
(2) cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

(3) tg2 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Формулы суммы и разности

тригонометрических функций.

Формулы сложения тригонометрических функций позволяют преобразовывать сумму и разность функций в произведение этих функций.

cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  
sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  
cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  

Формулы приведения.

Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблице, либо по модели числовая окружность.

Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу. Формул приведения много, поэтому лучше запомнить правило написаний этих формул, а не сами формулы.

ПРАВИЛО НАПИСАНИЯ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ:

1) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , или ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , то наименование функции нужно изменить на родственное (sin cos ; tg ctg)

2) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru то наименование тригонометрической функции менять не нужно.

3)Перед полученной функцией от аргумента t нужно поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что

0<t< Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru (0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru < Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru <90 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

1) sin ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 17) tg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

2) sin ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 18) tg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) sin ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 19) tg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

4) sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 20) tg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

5) sin ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 21) tg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

6) sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 22) tg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

7) sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 23) tg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

8) sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 24) tg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

9) cos ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 25) ctg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

10) cos ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 26) ctg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

11) cos ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 27) ctg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

12) cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 28) ctg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

13) cos ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 29) ctg ( Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

14) cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 30) ctg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

15) cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 31) ctg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

16) cos Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 32) ctg Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

6.Решение уравнения sinx=a.

(вывод формул корней уравнения sint=a)

Если Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru то уравнение sin =a имеет корни, если Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru то уравнение корней не имеет. Например:

sint = 2

2 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru нет корней

sint = -1,8

|-1,8|=1,8 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru нет корней

Вывод формул корней

a

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0; Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t= arcsina+ Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru k

Вывод: Уравнение sint Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a имеет две серии решений: (1)

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru arcsina

(2)

Эти две формулы объединим в одну:

t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru k

(1) t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  

при любом k

(2) t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru k  

Формула корней уравнения sin t=a

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойство:

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru (1) формула

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru (2) формула

Три частных случая:

1) sint Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

2) sint Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) sin Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Например, Решить уравнение

sint Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

7.Решение уравнения cosx=a

(Вывод формул корней уравнения cost=a)

Решить тригонометрическое уравнение cost=a, значит найти все числа t на окружности cos, которых равен числу a.

y

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

a Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

x |a| Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1

Если |a| Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru то тригонометрическое уравнение cos t=a имеет корни.

Если |a| Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru то тригонометрическое уравнение cos t=a не имеет решений.

cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1,5 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru нет корней

cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru | Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru | Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru нет корней

y Вывод формул корней

    a

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

(k Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

x

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Вывод: Уравнение cost=a имеет две серии решений:

t= Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru k

t= Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru (k Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , которые можно объединить в одну формулу

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Формула корней уравнения cost=a

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойство:

Но в трёх частных случаев предпочитают пользоваться не формулой корней, а более простыми соотношениями:

1) cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

2) cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Например, Решить уравнение

cos t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

|a| Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru нет корней

8.Решение уравнения tgx=a.

(Вывод формулы корней уравненияtgt=a),

y где a-любое действительное число на линии tg.

tg

a +

t=arctga

x

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Формула корней уравненияtgt Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru a:

Свойство:

Частных случаев нет!

Например, Решить уравнение:

tgt=1,5

t=arctg1,5 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

9.Решение уравнения ctg=a.

(Вывод формулы корней уравнения ctgt=a),

Где a-любое действительное число на линии ctg

y

ctgt 0 a ctgt

arcctga

x

arcctga+ Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Формула корней уравнения ctgt=a

arcctg(-a) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойство:

Например, Решить уравнение:

ctgt Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

t Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

 
tgt

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  
0

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru ctgt Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru ctgt

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
 

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  
x  
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 0;2 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru  

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Свойства степени с произвольным показателем.

a) Степень с натуральным показателем.

Определение: Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , где n-любое натуральное число называется степенью с натуральным показателем.

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =a·a·a…·a

n-раз

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru =2·2·2·2=4·4=16

4 раза

a- основание степени

т-показатель степени

Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = a 5) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

n
Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = 1 6) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 7) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

4) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 8) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

б) Степень с рациональным показателем.

Определение: Под степенью с рациональным показателем Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , где q Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1 понимают Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , т.е. Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru , a>0 Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

s
r и s –рациональные числа, т.е. числа вида Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru q Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 1

1) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = a 4) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 7) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

2) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = 1 5) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 8) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

3) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru · Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru 9) Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru = Свойства степени с произвольным показателем. - student2.ru

Наши рекомендации