Каноническое уравнение эллипса.

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Отношение Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru равно угловому коэффициенту секущей АВ.

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru у

В

А

0 а e b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – yсек АВ

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.

Т.к. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , то Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , следовательно

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Теорема доказана.

3. Вычислить интеграл Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru .

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

4. Вычислить Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru .

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

БИЛЕТ № 21.

Каноническое уравнение гиперболы.

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Производные параметрически и неявно заданных функций.

1. Производная функции, заданной параметрически.

Пусть Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х). Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Т.к. Ф(х) – обратная функция, то Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru . Окончательно получаем: Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

2. Производная неявно заданной функции.

Пусть дана дифференцируемая функция Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , для которой в некоторой точке Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru выполнено неравенство Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Тогда в некоторой окрестности точки Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru уравнение Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , заданную вблизи точки Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru в Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru .

Пусть требуется найти её частные производные Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru которая тождественно равна 0 в окрестности точки Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru ; следовательно, и все её частные производные в точке Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , переменную Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , где Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , получаем по формуле Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru : Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

(производные Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru равны 0 при Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru ), то есть Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru откуда Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru или Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru , не имея задающего её явного выражения.

3. Выполнить действия Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru .

1. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

2. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

3. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Найти точки разрыва, исследовать их характер и построить график функции

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Устранимый разрыв.

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

Разрыв 1-го рода.

Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru у

 
  Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

 
  Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru

0 1 2 х

-1

БИЛЕТ № 22.

1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (без поворотов).

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

1. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

2. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru - уравнение эллипса.

3. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru - уравнение “мнимого” эллипса.

4. Каноническое уравнение эллипса. - student2.ru - уравнение гиперболы.

5. a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

6. y2 = 2px – уравнение параболы.

7. y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

8. y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

9. y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

10. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

Наши рекомендации