Простейшие понятия стереометрии

I. Наклонная, перпендикуляр, проекция.

-перпендикуляр, - основание перпендикуляра,

- наклонная, - проекция,

- угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и её проекцией на плоскость.

, .

1. Наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки.

2. Равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот.

3. Из двух наклонных больше та, у которой больше проекция, и наоборот.

II. Расстояние от точки до плоскости , уравнение которой записано в общем виде равно .

Если многоугольник площади проектируется на плоскость в многоугольник площади , то площадь проекции вычисляется по формуле:

,

где - угол между плоскостями и .

I. Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали.

Многогранник есть пространственная фигура, ограниченная конечным числом плоских многоугольников. Вершины этих многоугольников называются вершинами многогранника, их ребра – ребрами многогранника. Диагональ многогранника есть отрезок, соединяющий две его вершины, не лежащие в одной грани.

II.Прямая и наклонная призма.

Многогранник называется призмой, если две его грани, называемые основаниями, есть равные многоугольники, а ребра, не лежащие в этих гранях, называемые боковыми ребрами, равны и параллельны.

, , где - периметр перпендикулярного сечения.

- объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

Призма называется прямой, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований.

;

.

Прямая призма называется правильной, если её основания есть правильные многоугольники.

;

;

.

III. Параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.

.

Параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники, называется прямоугольным.

;;

,

, , - три измерения параллелепипеда, - диагональ.

IV. Куб.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

;.

- ребро куба.

V. Пирамида.

Пирамида есть многогранник, одна грань которого, называемая основанием, есть многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называемую вершиной пирамиды, не принадлежащую этому многоугольнику.

;

.

Треугольная пирамида называется тетраэдром.

,

где , , , - высоты, - радиус вписанного в тетраэдр шара.

Пирамида называется правильной, если её основание есть правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

, ; ;

, - апофема.

Если все ребра треугольной ( -угольной) пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом или все боковые ребра равны, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.

Если все боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проектируется, либо в центр вписанной окружности, либо в центр одной из вневписанных окружностей основания.

VI. Усеченная пирамида.

, , -площади оснований.

Усеченная пирамида называется правильной, если её основания есть правильные многоугольники. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

,

, - периметры оснований, - апофема.

VII. Цилиндр.

; ; ;

,

- радиус основания, - высота цилиндра.

VIII. Конус.

;

; ;

,

- образующая, - радиус основания, - высота конуса.

; ,

- градусная мера кругового сектора развертки конуса.

IX. Усеченный конус.

;

;

;

.

X. Шар и сфера.

Поверхность шара называется сферой.

;

;

.

XI. Шаровой сегмент.

- радиус основания сегмента;

;

;

.

XII. Шаровой сектор.

;

.

XIII. Шаровой слой.

;

;

,

- высота шарового слоя, , - радиусы оснований.

Библиография

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.

2. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9, 10-11. Учебники для общеобразоват. учреждений.

3. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике.

4. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Москва ОНИКС Мир и Образование, 2006.

5. Старков С.Н. Справочник по математическим формулам и графикам функций для студентов. – СПб.: Питер, 2009.

6. Шарыгин И.Ф. Стандарт по математике: 500 геометрических задач. Книга для учителя. Москва «Просвещение», 2007.

В авторской редакции.

Компьютерная вёрстка Шубовича А.А.

Подписано в печать Формат

Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100. Заказ

Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА «Нива»

400002, Волгоград, Университетский пр-т, 26