Функция распределения дискретной случайной величины

Для каждого значения дискретной случайной величины задана вероятность:

Тогда функция распределения:

Где — функция единичного скачка:

Плотность распределения вероятностей

Где — дифференцируемая функция распределения случайной величины .

Свойства:

1.

2.

3.

4.

5.

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

Для каждого значения дискретной случайной величины задана вероятность:

Тогда плотность вероятности:

Где — дельта-функция.

Примеры распределения случайной величины

1. Равномерное.

2. Нормальное (гауссовое).

Где — функция Лапласа.

3. Коши.

4. Экспоненциальное распределение.

Математическое ожиданиедискретной случайной величины

Где — оператор математического ожидания, дискретнаяслучайная величина, — одно из возможных значений случайной величины с вероятностью .

Где — математическое ожидание функции.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Где — оператор математического ожидания, случайная величина с плотностью распределения .

Где — математическое ожидание функции.

Свойства математического ожидания

1.

2.

3. . Оператор математического ожидания линейный.

Примеры математического ожидания

1. Равномерное распределение.

2. Нормальное распределение.

3. Схема Бернулли.

Дисперсия случайной величины

Где (иногда ) — дисперсия (среднее значение отклонения от математического ожидания) случайной величины , — среднеквадратичное отклонение, — оператор математического ожидания.

Для дискретной случайной величины:

Где — одно из возможных значений случайной величины с вероятностью .

Для непрерывной случайной величины:

Где — плотность распределения .

Примеры дисперсии

1. Нормальное распределение.

2. Экспоненциальное распределение.

3. Схема Бернулли.

Моменты случайных величин

Начальный момент k-го порядка:

Для непрерывной величины:

Для дискретной величины:

Центральный момент k-го порядка:

Для непрерывной случайной величины:

Для дискретной случайной величины:

Неравенство Чебышева

Где — случайная величина, — оператор математического ожидания, и — произвольные параметры.

Коэффициент асимметрии

Где — центральный момент третьего порядка, — центральный момент второго порядка (дисперсия).

Коэффициент эксцесса

Характеризует степень сглаженности вершины плотности вероятности.

Где — центральный момент четвёртого порядка, — центральный момент второго порядка (дисперсия).

Чем больше , тем острее вершина, у нормального распределения .

Среднеквадратическая ошибка

Пусть (буква — тэта) — неизвестный параметр системы, который измеряют. Результат измерения есть случайная величина (оценка параметра ).

— среднеквадратичная ошибка (похоже на дисперсию, но не оно, потому что — не математическое ожидание).

— смещение оценки .

Где дисперсия величины .

Характеристическая функция

Характеристическая функция случайной величины :

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности :

Это выражение так же называется преобразованием Фурье. Возможно обратное преобразование:

Для дискретной случайной величины со значениями и с соответствующими вероятностями :