Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.)

??? Определение.Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение.В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .

Дробь Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru = k называется угловым коэффициентомпрямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

и обозначить Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение.Каждый ненулевой вектор Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru или

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru , где

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках: Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

нормальное уравнение прямой:

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru ; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Уравнение прямой имеет вид: Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru , ab /2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru >, где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Прямая на плоскости (Различные виды уравнений прямой, угол между прямыми.) - student2.ru

Наши рекомендации