Применение формул приведения

Пример 82. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение - однородное,

Разделим обе части уравнения на приходим к уравнению:

Ответ: .

Пример 83. Решите уравнение

.

Решение

I-й способ

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения, получим:

Получим совокупность уравнений:

Ответ:

II-й способ

Применим формулы приведения:

- это однородное уравнение второй степени, .

Разделим обе части уравнения на , .

Пусть tgx = t, тогда получим: .

, .

Ответ: ; .

Пример 84. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение к однородному:

Полученное уравнение - однородное. Разделим обе части этого уравнения на ( , ибо, в противном случае, из уравнения следует, что и , что невозможно, так как тогда не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). В результате деления на , получим: .

Положим , получим

Ответ:

Пример 85. Решить уравнение .

Решение

Это уравнение не является однородным. Перепишем его иначе:

. Умножим левую часть уравнения на 1, а точнее на её значение . После приведения подобных слагаемых имеем:

. Это однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx, . Если cosx = 0, то из уравнения следует sinx=0, что невозможно.

Разделим обе части уравнения на , получим: .

Положим tgx = y, получим . Нетрудно заметить, что y = -1 является корнем уравнения. Разделим левую часть на y + 1, получим:

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет корней, так как дискриминант трехчлена отрицателен. .

Ответ:

Пример 86. Решить уравнение .

Решение

I-й способ

Преобразуем уравнение:

;

- решений не имеет.

Ответ: .

II-й способ

Преобразуем уравнение: . Умножим левую часть уравнения на , получим: .

После приведения подобных слагаемых получим однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx: , .

Разделим обе части уравнения на , получим: .

Пусть tgx = y, тогда - не имеет корней.

.

Ответ: .

Пример 87. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение: ,

,

Умножим левую часть уравнения на , получим:

,

,

Последнее уравнение - однородное четвертой степени относительно sinx и cosx.

. Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует sinx = 0, что невозможно. Разделим обе части уравнения на , .

Пусть , получим квадратное уравнение: ,

. - не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

Ответ: .

Задание 3

88. . 89. .

90. . 91. .

92. . 93. .

94. . 95. .

96. .

97. . 98. .

99. . 100. .

101. .

102. .

103. . 104. .

4. Для преобразования уравнений было использовано основное тригонометрическое тождество . Это тождество не только позволяет сводить некоторые уравнения к однородным, но и в некоторых случаях дает возможность найти более простые решения таких уравнений. Для этой цели используются тождества, получаемые с помощью основного тригонометрического тождества.

,

отсюда находим .

Далее,

.

Преобразуем сумму , используя формулу (4).

.

Выше приведенные формулы очень часто используются при решении тригонометрических уравнений, и не только однородных.

Пример 105. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: .

Пусть приходим к квадратному уравнению:

,

Ответ: .

Пример 106. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: ,

,

.

Уравнение 2 - sin2x = 0, sin2x = 2 не имеет решений.

Ответ: .

Пример 107. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

Ответ: .

Пример 108. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

.

Ответ: .

Пример 109. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулы:

и , получим:

,

.

Ответ: .

Пример 110. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (6)

, получим уравнение:

. Пусть , получим:

.

Ответ: .

Задание 4

111. . 112. .

113. .

Метод замены переменных

4.1. Замена .

Пусть дано некоторое тригонометрическое уравнение F(x) = 0. Обозначим через g(x) функцию и введем новое неизвестное . Если удастся выразить функцию F(x) через t, т. е. представить ее в виде , то решение уравнения F(x) = 0 будет сведено к решению уравнения f(t) = 0. Разумеется, не всегда левую часть F(x) удается достаточно просто выразить через .

Мы рассмотрим несколько случаев, когда это удается сделать.

Введем (в некотором тригонометрическом уравнении) новое неизвестное , тогда, применяя тождество

, находим

.

Ясно, что если уравнение содержит сумму функций и синус двойного угла , тогда его можно выразить через t.

Если левая часть тригонометрического уравнения F(x) = 0 может быть выражена через и , то целесообразно применить замену неизвестного по формулам , .

Пример 114. Решите уравнение .

Решение

Пусть , тогда , получим квадратное уравнение:

.

Получим совокупность уравнений:

.

Ответ: .

Замечание. Уравнение имеет решения в том и только в том случае, когда дискриминант уравнения неотрицателен и по крайней мере один из корней этого уравнения удовлетворяет условию , так как .

Аналогично решаются уравнения вида .

Здесь удобно положить и тогда .

Пример 115. Решите уравнение .

Решение

Й способ

Положим , тогда , , получим уравнение:

Ответ:

Й способ

. Преобразуем уравнение, зная, что :

,

Дальнейшее решение такое же, как и в первом способе. Применяя второй способ, мы обходимся без введения новых переменных и без подстановки, но использовать его может лишь опытный человек, который имеет достаточно большой навык в решении тригонометрических уравнений, искусственных преобразованиях и т. п.

Пример 116. Решите уравнение .

Решение

Положим , тогда , , получим уравнение:

.

.

Ответ: .

Пример 117. Решите уравнение .

Решение

Пусть , тогда , получим квадратное уравнение:

;

.

Ответ: ; .

Пример 118. Решите уравнение .

Решение

Положим , тогда , , получим уравнение:

- не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

.

Ответ: .

Пример 119. Решите уравнение .

Решение

Пусть , тогда , получим уравнение:

- не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

,

.

Ответ: .

Пример 120. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение:

.

Применим подстановку , тогда

, получим уравнение