Из появившегося окна математической палитры вызвать мат-

ричную и векторную палитру. Для этого щелкнуть мышью по .

Вызов шаблона матрицы и её ввод

1. Из окна матричной палитры вызвать панель ввода матрицы. Для этого щелкнуть мышью по .

2. Указать размеры матрицы в соответствующих местах открыв- шейся панели и щелкнуть ОК.

Набрать матрицу, передвигаясь стрелками. После набора последнего числа нажать клавишу ПРОБЕЛ.

3.1.1 Вычисление определителя

1. Активизировать мышью пункт SIMBOLICS в верхней строке.

Указать мышью на MATRIX, затем справа на DETERMINANT и нажать левую кнопку мыши. На этом шаге появится ответ.

3.1.2. Обращение матрицы

Проделать то же, что при вычислении определителя, но в конце указать справа на INVERT.

3.1.3. Решение систем линейных уравнений

1. Набрать А:= и вызвать ввод матрицы, указать размеры и ввести матрицу системы ( без свободных членов ).

2. Набрать В:= и ввести матрицу-столбец свободных членов.

3. Набрать x:=lsolve(A,B) и нажать Enter.

4. Набрать х:= и на экране появится решение системы.

3.1.4. Выполнение алгебраических действий над матрицами

1. Обозначить разными буквами матрицы, из которых составлено

выражение, которое требуется вычислить, и поочередно ввести

эти матрицы и присвоить соответствующим буквам их значения.

2. Набрать Х:= и далее набрать данное алгебраическое выражение. Нажать Enter.

3. Набрать Х:= и на экране появится результат.

Например, если требуется вычислить , то нуж- но сначала ввести матрицы А и В и затем набрать: , нажать Enter, набрать Х:= и появится ответ.

Решение квадратных уравнений

1. Набрать В:= и ввести матрицу-столбец коэффициентов уравнения по порядку сверху, начиная со свободного члена, и нажать Enter.

2. Набрать х:=polyroots(B) и нажать Enter.

Набрать х:= и появятся корни.

3.1.6. Операции над матрицами с параметрами

Вычисление определителя.

1. Набрать А(р):= и ввести матрицу с коэффициентами, содержащими параметр р. Нажать Enter.

2. Набрать f(p):= A(p) и нажать Enter.

3. Набрать f(p):® и появится выражение для определителя.

Общее решение неопределённой системы.

Если обратиться обычным образом к MATHCAD-у за решением

с неопределённой системой, то он даст одно из решений. Поэтому, если мы хотим получить общее решение, нужно провести предварительное исследование системы, найти ранг, выделить базисный минор, отбросить лишние уравнения, выделить главные и свободные неизвестные. Рассмотрим на примере, разобранном в 4.5. На том шаге, когда обнулилась 4-я строка матрицы, стало ясно, что можно взять первые 3 уравнения, а объявить свободной неизвестной. Вводим параметр р = и находим неизвестные , решая систему

Теперь, чтобы получить общее решение нужно сделать:

1. Набрать А:= и ввести матрицу системы.

2. Набрать В(р):= и ввести столбец свободных членов.

3. Набрать .

4. Набрать Х(р):® и появится ответ.

Использование АРММ

Через 1-й пункт: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ из МЕНЮ ПРОГРАММ войти в подменю ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАи обращать-

ся к подпрограммам: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МЕТОДОМ ГАУССА, ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ МЕТОДОМ ГАУССА, РЕШЕНИЕ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КВАДРАТНОГО КО-

РНЯ, ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТО-

ДОМ ГАУССА. Все необходимые инструкции по их использова-

нию появляются на экране в процессе работы.

4. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ

НАИБОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАНИЙ

4.1. Пример выполнения задания 2.4

Пусть требуется найти определитель:

Поступим следующим образом: Сначала уменьшим элементы

матрицы, используя то свойство определителя, которое утверж-

дает, что он не меняется при вычитании из одной строки (или

столбца) другой строки ( или столбца ), умноженной на некото-

рое число. Для этого вычтем из второго столбца первый и из

третьего тоже первый. Получим

. К 3-му столбцу прибавим 2-й: .

Так как в 3-м столбце стоят 2 нуля, то вычисления упрощаются,

если разложить определитель по 3-му столбцу.

Получаем: . Проверить вычисления можно путем вычисления D на ЭВМ ( см.раздел 3 ).

4.2. Пример выполнения задания 2.11

Пусть требуется решить матричное уравнение

.

Перенесём матрицу в правую часть и вычтем из матрицы

. Получим . Умножим

полученное равенство слева на и справа на .

Получим . Далее, находим обрат-

ные матрицы ; .

Подставим в выражение для Х:

. Проверим подстанов-

кой матрицы Х в исходное уравнение

. Вычисляем

4.3. Пример выполнения задания 2.12

Пусть требуется решить уравнение .

Обозначим элементы неизвестной матрицы и выполним

действия. В левой части равенства получим

. А в правой -

. Приравнивая

соответствующие элементы матриц в левой и правой частях, полу-чим систему уравнений

Переносим неизвестные в левую часть и приводим подобные члены:

.

Для решения системы можно обратиться к ЭВМ (см. раздел 3) или решить вручную. Выражаем d через a из 2-го уравнения и b через c из 4-го уравнения d = 1+2×a , b = - 9 - 4×c, и подставляем в 1-е и 3-е уравнения

Сокращаем 1-е уравнение на 2 и приводим подобные члены

Прибавляя ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на 3, получаем

. Получили искомую матрицу

.

Проверяем ответ подстановкой в матричное уравнение

.

Выполняя действия, получаем и в левой и в правой части одну

и ту же матрицу

.

4.4. Пример выполнения задания 2.13

Пусть нам дана система

. Так как система однородная, то для

того, чтобы она имела ненулевые решения, необходимо, чтобы её

определитель был равен нулю.

Найдём такие значения р, при которых функция D(р) обращается в нуль. Найдём выражение для D(р), раскрывая определитель по пер-вой строке ( на этом этапе можно обратиться к ЭВМ, см. раздел 3.3)

= .

Получаем квадратное уравнение: .

( Для его решения можно обратиться к ЭВМ ). Находим его корни

. Далее находим для каждого р соответствующие ре-

шения системы ( это можно также проделать на ЭВМ ).

1. . Получается система

.

Ищем общее решение этой системы ( она должна быть неопределённой ) методом Гаусса. При этом столбец свободных членов всегда будет нулевым и его можно не писать.

Приводим матрицу системы к стандартному ступенчатому виду

.

Записываем систему, соответствующую последней матрице

Получилось, что x, y – главные неизвестные; z – свободная неизвестная. Возьмём z = 1, тогда . Нашли решение

, однако оно пока не удовлетворяет условию .

Но так как наша система – однородная, то при умножении реше-ния на какое-либо число получается тоже одно из решений этой систе-мы. Тогда умножим полученное решение на такое число k, чтобы условие было выполнено. Можно проверить подста-новкой, что можно взять . Для р = 2 получаем требуемое решение:

.

2. . Получается система

.

Ясно, что как и в случае р = 2, третье уравнение будет следствием первых двух и его можно отбросить. Система получается неопределённая и можно взять х = 1. Найдём у и z

( Для решения можно обратиться к ЭВМ ). Вычтем из 2-го уравнения 1-е, умноженное на 3

.

Находим второе решение так же, как для р = 2

.

4.5. Пример выполнения задания 2.14

Пусть дана система

.

Исследуем систему на совместность и определённость методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы

.

Ко 2-й, 3-й и 4-й строкам прибавим 1-ю, умноженную, соответственно на числа 0.8, 1.5, 1.9. Получится матрица

.

Делим 2-ю строку на число -0.04, затем прибавляем к 1-й, 3-й и

4-й строкам 2-ю (новую), умноженную, соответственно, на числа

–0.2, 1.2 и 3.52. Получится матрица

.

Делим 3-ю строку на число 19.75, затем прибавляем к 1-й, 2-й и

4-й строкам 3-ю (новую), умноженную, соответственно, на числа 2.5, -15 и -59.25. Получится матрица

.

Процесс закончен. Последней матрице соответствует система:

или

которая эквивалентна первоначальной системе, так как мы зна-

ем, что на каждом шаге метода Гаусса система, соответствую-

щая матрице, остаётся эквивалентной исходной. По виду полу-ченной матрицы можем сделать выводы: система совместная,

неопределённая ранга 3, в качестве свободной неизвестной мож-

но взять , остальные неизвестные – главные. Обозначим:

- произвольный параметр. Тогда общее решение системы

запишется параметрически в виде

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определения операций сложения, умножения матриц, умножения матрицы на число.

2. Каким условиям должны удовлетворять размеры матриц при сложении, умножении?

3. В чём заключаются свойства алгебраических операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность? Какие из них выполняются для матриц при сложении, умножении, а какие нет?

4.Что такое перестановка порядка n?

5. Что такое инверсия?

6. Какие перестановки называются чётными, какие нечётными?

7. Сколько существует различных перестановок порядка n, сколько из них чётных?

8. Дать общее определение определителя квадратной матрицы.

9. В чём заключается правило треугольников ?

10. Перечислить свойства определителей.

11. Что такое единичная матрица, каковы её свойства ?

12. Что такое алгебраическое дополнение элемента матрицы?

13. Что такое обратная матрица? Для каких матриц она определена?

14. Сформулировать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

15. Сформулировать лемму о транспонировании произведения матриц.

16. Какие системы называются эквивалентными?

17. Какие системы называются совместными, несовместными, определёнными, неопределёнными, однородными, неоднородными?

18. Написать формулы Крамера.

19. Как записать и решить систему в матричной форме?

20. Что такое ранг матрицы? Сформулировать теорему Кроне-

кера-Капелли.

21. Что такое элементарные преобразования матрицы?

22. В чем заключается метод Гаусса для решения систем линей-

ных уравнений?

23. Как найти определитель матрицы методом Гаусса?

24. Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

25. Как найти ранг матрицы методом Гаусса?

26. Как методом Гаусса определить, будет ли система совместной или нет, определённой или нет?

27. Как записать базисное множество решений неопределённой

системы?

28. Какие неизвестные называются главными, какие свободными?

29. Какими свойствами обладают решения однородной системы

линейных уравнений?

30. Может ли однородная система линейных уравнений быть не-совместной? При каком условии она имеет более одного решения?

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 340с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линей- ной алгебры. М.: Наука, 1987. 292с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элемен- ты линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:Наука, 1980. 312с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Нау- ка, 1981. 207с.

5. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа, / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981. 464с.