Теорема (о делении с остатком).

Для любых a, bÎZ; b ¹ 0 существует единственная пара q, rÎZ такая, что a = bq+r, 0£ r<|b|.

Доказательство: Рассмотрим множество M = {a – bq, qÎZ}. Очевидно, что M∩{N, 0}¹Ø.

В любом таком множестве $ наименьшее r. Очевидно, что |b|>r ≥0.

Докажем единственность.

Пусть ещё a = bq1 + r1. Тогда вычитанием из первого второе получим

0 = b(q – q1) + r – r1. Отсюда следует, что r – r1 кратно b, но |r – r1|<|b|.

Следовательно, r – r1 = 0, а поэтому и q – q1 = 0.

Упражнение.Доказать теорему о делении с остатком геометрически (использовать геометрическую интерпретацию чисел).

Следствие из теоремы.

b делит a тогда и только тогда, когда r = 0 (b|a Û r = 0);

r называют остатком, а q – частным.

Построение комплексных чисел.

Уравнение x2+1=0 не имеет решения в области действительных чисел. Построение комплексных чисел попутно решает задачу о расширении множества действительных чисел до такого множества, чтобы уравнение x2+1=0 имело решение.

В качестве исходного материала для построения комплексных чисел возьмём множество точек плоскости. Будем их обозначать z1, z2,…, zn. Если на плоскости выбрана Декартова система координат, то между точками на плоскости и множеством пар чисел (a, b), где a и bÎR, можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е.

z Теорема (о делении с остатком). - student2.ru (a, b), где Теорема (о делении с остатком). - student2.ru – равно по определению.

Введём операции сложения и умножения точек плоскости.

Определение 1.Под суммой точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = z1+z2 Теорема (о делении с остатком). - student2.ru (a+c, b+d).

Определение 2.Под произведением точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = z1z2 Теорема (о делении с остатком). - student2.ru (ac–bd, ad+bc)

Теорема 1.

1) z1+z2=z2+z1 — коммутативность сложения;

2) (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) — ассоциативность сложения;

3) z1z2= z2z1 — коммутативность умножения;

4) (z1z2)z3= z1(z2z3) — ассоциативность умножения;

5) (z1+z2)z3 = z1z3+z2z3 — дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для любых z1, z2, z3.

Доказательство утверждений 1) – 5) сводится к подсчёту правой и левой частей и проверке их равенства. Докажем, например, 3) :

z1z2 = (ac–bd, ad+bc) = (ca–db, cb+da) = z2z1 Þ z1z2= z2z1.

Введённые операции сложения и умножения обладают теми же свойствами, что и числа.

Определение 3.Под разностью точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = (x, y) такую, что z2+ z = z1, т.е.

z2+z = z1 Û Теорема (о делении с остатком). - student2.ru Þ Теорема (о делении с остатком). - student2.ru

z1–z2 = (a – c, b – d).

Определение 4.Пусть z1 = (a, b), z2 = (c, d), z2 ¹ (0, 0).

Частным двух точек z1 и z2 называют точку z = (x, y) такую, что z2z = z1, т.е.

Теорема (о делении с остатком). - student2.ru Þ Теорема (о делении с остатком). - student2.ru Теорема (о делении с остатком). - student2.ru

x = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru ; y = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru .

Точка с координатами (0, 0) играет роль нуля. Роль единицы играет точка с координатами (1, 0). Противоположной точке z1 = (a, b) будет точка z2 = (–a, –b).

Упражнение. Найти обратную точку для точки z2 = (c, d)≠(0,0).

Множество точек плоскости с так введёнными операциями сложения, умножения, вычитания и деления называют множеством комплексных чисел и обозначают C.

Точки с координатами (a, 0) на оси Ox и

(a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

По своим свойствам множество таких точек ничем не отличаются от R, поэтому будем отождествлять (a, 0) и a. После этого отождествления множество C содержит R (C É R).

В множестве C имеет решение уравнение x2+1=0.

Это точка с координатами (0, 1): (0, 1) (0, 1) = (–1, 0).

Точка (0, 1) — обозначается i и называется мнимой единицей. Очевидно, что

(a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+(b, 0)(0, 1) = a+bi, где a+bi — алгебраическая форма комплексного числа.

Замечание. Введенные ранее операции над комплексными числами приспособлены к алгебраической форме записи комплексного числа. Например, для умножения двух чисел имеем:

(a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi+bdi2=(ac–bd)+i(ad+bc).

Пусть z = a+bi, тогда:

a = Re z — действительная часть комплексного числа,

b = Im z — мнимая часть комплексного числа.

Множество точек плоскости может служить геометрическим изображением комплексных чисел.

Определение 5.Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).

Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через Теорема (о делении с остатком). - student2.ru ).

Упражнение 1.Сумма и произведение двух комплексных чисел z и Теорема (о делении с остатком). - student2.ru (сопряжённых) — действительное число.

Теорема 2.

Справедливы следующие соотношения:

1) Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru + Теорема (о делении с остатком). - student2.ru ;

2) Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ruТеорема (о делении с остатком). - student2.ru ;

3) Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru Теорема (о делении с остатком). - student2.ru ;

4) Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru .

Доказательство.

Доказательство 1) – 4) однообразно и сводится к подсчёту левой и правой частей и их сравнению. Например: z1=a+bi, z2=c+di. Докажем

1) Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru + Теорема (о делении с остатком). - student2.ru . По определению

Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = a-bi ; Теорема (о делении с остатком). - student2.ru =c-di и

Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = (a+c)–(bi+di),

Теорема (о делении с остатком). - student2.ru + Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = (a–bi)+(c–di) = (a+c)–(bi+di).

Значит Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru + Теорема (о делении с остатком). - student2.ru .

§3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Пусть z = a+bi , полагаем r Теорема (о делении с остатком). - student2.ru Теорема (о делении с остатком). - student2.ru =|z|, r — модуль комплексного числа z.

a+bi = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru Теорема (о делении с остатком). - student2.ru , положим

Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = cos Теорема (о делении с остатком). - student2.ru и Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = sin Теорема (о делении с остатком). - student2.ru .

Пусть z¹0, тогда угол j определен однозначно с точностью до 2pk. Если 0£j£2p, то он определен однозначно. Угол j называют аргументом комплексного числа z, r и j — полярные координаты точки.

Из тригонометрии мы знаем как искать j, если известно a и b.

Если r=0, то j может быть любой, то есть аргумент нуля не определён; r¹0, то аргумент определен с точностью до 2πk.

z = r(cosj+i sinj) (1)

Назовем выражение (1) тригонометрической формой комплексного числа.

Если два комплексных числа равны, то их модули равны, а их аргументы, вообще говоря, отличаются на 2pk.

Теорема 1.

Пусть z1 = r1 (cosj1+i sinj1), z2 = r2 (cosj2+i sinj2). Тогда:

1) z1z2 = r1r2(cos(j1+j2)+i sin(j1+j2))

 
  Теорема (о делении с остатком). - student2.ru

(модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов);

2)

(модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов).

Доказательство:

Докажем 1).

z1z2 = r1r2(cosj1cosj2– sinj1sinj2+i(sinj1cosj2+cosj1sinj2)) = =r1r2cos(j1+j2)+i sin(j1+j2)).

Аналогично с частным.

Следствие 1.

Пусть z = r (cosj+i sinj), тогда z Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru (cos(–j)+i sin(–j)).

Доказательство:

z Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru = Теорема (о делении с остатком). - student2.ru (cos(–j)+i sin(–j)).

Следствие 2(формула Муавра).

Пусть z = r (cosj+i sinj). Тогда zn = rn(cos(nj)+i sin(nj)) для любого nÎZ.

Доказательство:

Если n — натуральное, то формула Муавра следует из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Если n — отрицательное, то можно представить zn = (z -1)-n и применить следствие (1) и доказанную формулу Муавра для nÎN.

Наши рекомендации