Системы координат в пространстве

■ Декартова прямоугольная система координат. Эта система координат определяется заданием трех взаимно перпендикулярных осей (пересекающихся в одной точке О – начале координат) и единицы масштаба. Оси обычно обозначают Ox, Oy, Oz. Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y, z – координатами точек.

Замечание.Различают правые и левые системы декартовых координат.

■ Расстояние d между двумя точками пространства и (т.е. длина отрезка АВ) вычисляется по формуле

.

В частности, расстояние от точки до начала координат равно .

Пример 1. Расстояние между точками A(-3, 1, 5) и B(-2, 0, 4) равно , а длина отрезка ОА равна .

■ Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и . Координаты точки D(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AD : DB = λ, определяются по формулам

, , .

Координаты середины отрезка (т.е. точки С(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AС : СB = λ = 1) находятся по формулам

, , .

Пример 2. Найти точку D(x, y, z), делящую отрезок АВ в отношении AD : DB = 1,5, если даны координаты точек A(-2, 1, 4) и B(3, 6, -1).

Решение. Находим , , .

Ответ: D(1, 4, 1).

Векторная алгебра

Векторы

■ Понятие вектора. Различают скалярные величины (такие, как масса, температура, плотность) и векторные величины (сила, скорость, ускорение и т.п.). Скалярные величины охарактеризованы одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Для векторной величины одного числа недостаточно: они обладают еще и направленностью. Для выражения таких величин служат геометрические векторы.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Векторы обозначаются либо (точка А – начало вектора, точка В – конец вектора), либо . Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается (или ).

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Коллинеарными векторами называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

В геометрии не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными.

■ Произведение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий трем условиям: 1) модуль вектора равен ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) и направлены одинаково, если и противоположно, если (если , то , т.е. представляет собой нулевой вектор).

Вектор или называется противоположным вектором по отношению к вектору .

■ Сумма векторов. Суммой векторов и называется вектор , получаемый либо по правилу параллелограмма (рис. 24, а), либо по правилу треугольника (рис. 24, б). При этом подразумевается, что векторы и предварительно параллельным переносом должны занять положение, показанное на рисунках.

Рис. 24.

Сумму произвольного числа векторов можно построить по следующему правилу: приложим вектор к концу вектора , вектор – к концу вектора и т.д.; тогда сумма n векторов будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора ("правило многоугольника" или "правило замыкающей").

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности . Кроме того, для любого вектора , , также и .

■ Разность векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , для которого (см. рис. 25, где векторы и приведены к общему началу).

Можно рассматривать разность векторов и как сумму вектора и вектора , противоположного вектору : .

■ Проекция вектора на ось. Углом между осью l (направленной прямой) и вектором называется угол кратчайшего поворота оси до совмещения ее направления с направлением вектора (аналогично определяется угол между двумя векторами).

Проекция вектора на ось находится по формуле

(в случае тупого угла между вектором и осью проекция оказывается отрицательной).

■ Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Обозначим через , , единичные векторы (или орты) осей декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Любой вектор пространства единственным образом представляется в виде такой линейной комбинации векторов , , :

. (*)

Наряду с (*) используется и такая запись:

.

Тройку векторов , , называют координатным базисом пространства, а представление (*) – разложением вектора по базису.

Числа X, Y, Z – коэффициенты этого разложения – называются координатами вектора ; они определяются вектором однозначно, а именно, они представляют собой проекции вектора на оси координат.

Замечание.Разложение векторов можно производить не только по ортогональномубазису , , , но и по любым трем некомпланарным(т.е. не лежащим в одной плоскости) векторам (если вектор лежит на плоскости, то в качестве базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов).

■ Определение координат вектора по координатам его начала и конца.Если даны начало вектора и его конец , то имеем

или

.

В частном случае, когда начало вектора находится в начале координат, имеем , т.е. в этом случае координаты вектора совпадают с координатами конца вектора (отметим, что вектор называют радиусом-вектором точки В).

Модуль вектора (как и длина отрезка АВ) находится по формуле

.

В частности, модуль вектора с началом в точке О равен .

Пример 1. Пусть начало вектора расположено в точке A(-3, 1, 5), а конец – в точке B(-2, 0, 4). Тогда вектор или же , а модуль этого вектора ; радиус-вектор точки В равен , а .

■ Координаты суммы векторов равны суммам одноименных координат слагаемых: если , , то .

Аналогично ; кроме того, координаты вектора равны произведениям координат вектора на число :

.

Пример 2. Найти координаты вектора , если , .

Решение. Находим , , поэтому

.

Скалярное произведение

■ Определение. Скалярным произведением векторов и называется число (которое мы будем обозначать ), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Можно использовать проекции векторов: скалярное произведение векторов равно произведению на проекцию вектора на ось вектора или произведению на проекцию вектора на ось вектора :

.

Если и – ненулевые векторы, то при остром угле между ними скалярное произведение положительно, а при тупом угле – отрицательно.

Скалярное произведение векторов называется произведением потому, что оно обладает алгебраическими свойствами произведения чисел:

; ;

.

Эти свойства дают возможность перемножать векторные многочлены по обычным правилам алгебры. Отличие же от произведения чисел состоит, в частности, в том, что бессмысленно говорить о скалярном произведении трех (и более) векторов.

■ Физический смысл скалярного произведения. Допустим, что вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора . Тогда работа этой силы равна (где – угол между направлениями силы и перемещения), т.е. работа равна скалярному произведению векторов и .

■ Скалярный квадрат вектора. Рассмотрим скалярное произведение . Оно называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Имеем

. (2)

Таким образом, скалярный квадрат вектора – неотрицательное число (равное квадрату модуля вектора). В частности, для ортов осей декартовой системы координат имеем (а ).

■ Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы и , то

. (3)

■ Угол между двумя векторами и можно найти из соотношения

. (4)

■ Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

(5)

или, в координатах,

. (6)

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и состоит в пропорциональности их координат (т.к. ):

(если какая-нибудь из координат вектора равна нулю, то и соответствующая координата вектора равна нулю).

Например, векторы и коллинеарны, так как выполняется условие .

■ Нахождение проекции одного вектора на направление другого. Проекция вектора на направление вектора находится по формуле , а проекция на направление – по формуле .

■ Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы, образованные вектором с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда числа , , называются направляющими косинусами вектора . Очевидно,

, , ;

отсюда ясно, что координатами произвольного единичного вектора служат его направляющие косинусы:

.

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

■ Проекция вектора на ось. Пусть заданы ось l, имеющая орт (единичный направляющий вектор) , и некоторый вектор . Если , , – направляющие косинусы орта , то проекцию вектора на ось l можно найти по формуле

(см. также стр. ___).

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и , если длины этих векторов соответственно равны 5 и 4, а угол между ними равен 60º.

Решение. По определению скалярного произведения (формула (1)) .

Ответ: .

Пример 2. Доказать, что векторы и перпендикулярны.

Решение. Находим скалярное произведение по формуле (3): . Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы перпендикулярны.

Пример 3. Найти угол между векторами и .

Решение. Воспользуемся формулой (4):

;

отсюда .

Пример 4. В треугольнике ABC с вершинами А(1,0,-1), В(2,-1,-5), С(3,-2,4) найти проекцию стороны АВ на сторону АС.

Решение. Находим векторы:

, . Искомая проекция равна (отрицательный знак проекции свидетельствует о том, что – тупой).

Пример 5. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если угол между векторами равен 60º и , .

Решение. Одна из диагоналей параллелограмма изображается вектором , а другая – вектором .

Найдем скалярный квадрат . (здесь мы воспользовались формулой (2)); аналогично . Из формулы (2) следует, что ; аналогично .

Ответ: длины диагоналей равны и .