Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве

Совокупность фиксированных точки О и двух единичных взаимно перпендикулярных векторов и ( Ц = {O, , }) называется цилиндрическим репером. Пусть П - плоскость,

проходящая через точку О параллельно вектору и перпендикулярно вектору . Пусть N – проекция точки М на плоскость П. Тогда . Пусть , (т.е. (r, j) – полярные координаты точки N на плоскости П) и пусть . Тогда упорядоченная тройка (r, j, z) вполне определяет положение точки М в

Рис. 58

пространстве и называется цилиндрическими координатами точки М.

Если в плоскости П зафиксировать репер R₁ = , а в пространстве - репер R = , то получим прямоугольную систему координат, соответствующую данной цилиндрической системе координат. Если М (r, j, z)_Ц и М (х, у, z)_R , то x = r×cosj, y = r×sinj , z = z. Эти формулы характеризуют связь между цилиндрическими и соответствующими цилиндрическими координатами точки.

Сферические координаты в пространстве определяются с помощью того же репера, что и цилиндрические координаты, но положение точки определяется упорядоченной тройкой

(r, j, y), где r = , j = и y = Эта тройка чисел, очевидно, вполне определяет положение точки в пространстве. Если ввести соответствующую систему прямоугольных координат, то сферические и соответствующие прямоугольные координаты точки будут связаны формулами x =r×Cosj×Siny , y = r×Sinj×Siny , z = r×Cosy.

Рис. 59

ОБРАЗЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Окружность

Определение 26. Окружностьюс центром С и радиусом а называется множество точек плоскости, удалённых от точки С на расстояние а. Обозначение w = окр(С, а).

Если на плоскости зафиксирована ПДСК и С(х₀,у₀), то М Î w Û êСМê = а. Если М(х, у), то М Î w Û Û (х – х₀)² + (у – у₀)² = а². Следовательно, уравнение окружности в ПДСК есть (х – х₀)² + (у – у₀)² = а².

Если А(х₁, у₁) Î w, то уравнение касательной к w в точке А можно получить как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ={х₁–х₀,у₁–у₀}. Получим уравнение (х₁ – х₀)×(х – х₀) + (у₁ – у₀)×(у – у₀) = а².

Эллипс

Определение 27. Эллипсомназывается множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 60).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2 . Если êF1F2 ê= 2с, то при < с не существует ни одной точки М. При = с точки М заполняют отрезок F1F2. Поэтому для того, чтобы эллипс был отличен от отрезка необходимо и достаточно, чтобы > с.

Рис. 60

Поставим задачи:

· Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение эллипса.

· Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства эллипса.

Так как в определении эллипса используется расстояние между точками, то систему координат лучше выбрать прямоугольную. Так как все точки эллипса связаны с фокусами, то за начало координат лучше выбрать середину отрезка F₁F₂. Ось (ОХ) направим через фокусы в направлении от F₁ к F₂ (рис. 61). Выбранная система координат называется

канонической системой координат для эллипса. В этой системе координат F1(-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r1 = êF1Мê = , r2 = êF2Мê= . М Î эллипсу Û r1 + r2 = 2а. Следовательно, М Î эллипсу Û + = 2а (55) Уравнение (55) есть уравнение эллипса. Упростим его. Для этого

Рис. 61

уединим один из корней и возведём в квадрат.

= 2а - ,

х² – 2сх + с² + у² = 4а² – 4а + х² + 2сх + с² + у²

а = а² + сх.

Ещё раз возведя в квадрат, получим

а²х² + 2 а²сх + а²с² + а²у² = а⁴ + 2 а²сх + с²х²,

(а² – с²)х² + а²у² = а²(а² – с²).

Так как > с, то можно обозначить а² – с² = в². Последнее уравнение запишется

в²х² + а²у² = а²в². Разделив на = а²в², получим

(56)

Итак, уравнение (55) преобразовано в уравнение (56). Но при этом два раза применяли возведение в квадрат. Следовательно, нужно проверить, что уравнения (55) и (56) эквивалентны. Для этого достаточно показать, что, если координаты (х, у) удовлетворяют уравнению (56), то они удовлетворяют и уравнению (55).

Пусть (х, у) удовлетворяют уравнению (56). Тогда = . Подставив у² в выражение для r₁, получим r₁ = = = = = = = (Из уравнения (2) следует, что -а £ х £ а . Так как > с, то > 0). Аналогично получим, что r₂ = . Следовательно, r₁ + r₂ = 2 ,но это значит, что точка М(х, у) лежит на эллипсе. Итак, уравнения (55) и (56) эквивалентны. Уравнение (56) называется каноническим уравнением эллипса.

Будем исследовать эллипс, используя уравнение (56). Из него следует:

· , т.е. ; · эллипс пересекает ось (ОХ) в точках А1(- ,0) и А2( , 0); · , т.е. ; · эллипс пересекает ось (ОУ) в точках В1(0, - ) и

Рис. 62

В₂(0, );

· эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки А₁, А₂, В₁, В₂ (рис. 62);

· эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат; · в первом координатном углу при увеличении х от нуля до а координата у убывает от нуля до (рис. 63). · длины отрезков А1А2 и В1В2 равны 2а и 2 соответственно. Эти отрезки называются большой и малой осью эллипса соответственно. Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Фокусы эллипса лежат на его большой оси между вершинами.

Рис.63

Величина e = называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0 < e < 1.

Определение 28. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называются директрисами эллипса.

Так как e < 1, то эллипс лежит между своими директрисами (рис. 49).

Фокус F₁(-с, 0) и директриса , а так же фокус F₂(с, 0) и директриса называются соответствующими.

Теорема 1. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство. êF1М ê= = а + eх, êМК1ê= = = . Следовательно, êF1М ê: êМК1ê = e ( рис. 5). Аналогично, êF2М ê: êМК2ê = e . (Здесь МК1 и МК2 - перпендикуляры, опущенные из точки М на директрисы р1 и р2 соответственно.)

Рис. 64

Определение 29. Прямая называется касательной к эллипсу, если она имеет с эллипсом одну двукратную точку пересечения. Общая точка эллипса и его касательной называется точкой касания.

Теорема 2. В любой точке эллипса существует касательная к нему и только одна. Если эллипс задан уравнением (56) и точка касания М₀(х₀, у₀), то касательная имеет уравнение

(57).

Доказательство. Если М₀(х₀, у₀) – любая точка эллипса, то = 1 (*). Пусть р – любая прямая, проходящая через точку М₀. Тогда уравнения р будут х = х₀ + mt, у = у₀ + nt, где {m, n} – координаты направляющего вектора прямой р. Для того чтобы найти уравнение касательной, достаточно найти m и n. Координаты точки пересечения эллипса и прямой р должны удовлетворять системе , х = х₀ + mt, у = у₀ + nt.

Подставляя х и у в первое уравнение системы, получаем . Отсюда

. Используя (*), получим . Так как t = 0 является решением полученного уравнения, то для существования уравнения касательной необходимо и достаточно, чтобы второй его корень тоже был равен нулю, т.е. должно быть . Все решения этого уравнения пропорциональны решению . Так как все эти решения определяют пропорциональные векторы, то искомая касательная существует и только одна. Найдём её уравнение, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Получим . Преобразуя это уравнение и используя (*), получим уравнение .

Теорема 3. Если большая ось эллипса постоянна, то при e ® 0 эллипс стремится к окружности, если e ® 1, то эллипс стремится к своей большой оси (т.е. к отрезку А₁А₂).

Доказательство. Так как и , то при постоянном а с уменьшением e уменьшается с, а увеличивается. Если e ® 0, то ® а, т.е. эллипс стремится к окружности. При этом фокусы сближаются и стремятся к центру окружности. Следовательно, окружность есть предельное положение эллипса. Если e ® 1, то с ® а, ® 0, Фокусы стремятся к вершинам большой оси, а сам эллипс стремится к отрезку А₁А₂.

Замечание 1. Если при выводе уравнения эллипса через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2 , то будет > с, а² = ² – с² и уравнение эллипса будет такого же вида , но > а.

Замечание 2. Если центром эллипса является точка М(х₀, у₀), но оси его параллельны координатным осям, то уравнение эллипса будет .

Гипербола

Определение 30. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 50).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2 . Если êF1F2 ê= 2с, то из свойств сторон треугольника F1F2М следует, что 2с > 2 , т.е. с > . При изучении гиперболы нужно решить те же самые задачи,

Рис. 65

которые мы ставили для эллипса.

· Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение гиперболы.

· Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства гиперболы.

Для вывода уравнения гиперболы выберем такую же каноническую систему координат, какая была использована для эллипса (рис. 46). В этой системе координат F₁(-с, 0), F₂ (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r₁ = êF₁Мê = , r₂ = êF₂Мê= .

М Î гиперболе Û ú + ú = 2а, или

+ = ± 2а (58)

Уравнение (58) есть уравнение гиперболы. Упрощая его (проведите эти преобразования самостоятельно), получим

, где (59)

Так же как в случае эллипса можно показать, что уравнения (58) и (59) эквивалентны. Уравнение (59) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуя уравнение (59), получаем следующие свойства гиперболы.

· , т.е. х £ - или х ³ . Следовательно, вся гипербола лежит вне полосы, ограниченной прямыми х = ± (рис.51). · Гипербола пересекает ось (ОХ) в точках А1(- ,0), А2( ,0). Отрезок А1А2 имеет длину 2 и называется действительной

Рис. 66

осью гиперболы. С осью (ОУ) гипербола не пересекается, но точки В₁(0, - ) и В₂(0, ) называются мнимыми вершинами гиперболы. Отрезок В₁В₂ имеет длину 2 и называется мнимой осью гиперболы.

· Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Следовательно, форму гиперболы достаточно исследовать только в первом координатном углу.

Пусть х ³ 0, у ³ 0. Тогда из уравнения (5) получим . Это уравнение той ветви гиперболы, которая лежит в первом координатном углу. Сравним эту ветвь гиперболы с лучом , лежащим в том же углу. При одном и том же значении х будет у_гип. < у_луче, т.е. ветвь гиперболы лежит между осью (ОХ) и лучом (рис. 67). Пусть М и N точки на гиперболе и на

луче соответственно с одной и той же абсциссой. Итак, точки гиперболы неограниченно приближаются к точкам луча. Используя симметрию относительно координатных осей, получим, что в остальных координатных углах гипербола неограниченно приближается к прямым (рис. 68).	Рис. 67
Определение 31. Прямые, которые в канонической системе координат задаются уравнениями , называются асимптотами гиперболы. Величина e = называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, e > 1.	Рис. 68

Определение 32. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называются директрисами гиперболы.

Теорема 4. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 33. Прямая называется касательной к гиперболе, если она имеет с гиперболой одну двукратную точку пересечения. Общая точка гиперболы и её касательной называется точкой касания.

Теорема 5. В любой точке гиперболы существует касательная к ней и только одна. Если гипербола задана уравнением (59) и точка касания М₀(х₀, у₀), то касательная имеет уравнение

.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2. Теорема 6. Если действительная ось гиперболы постоянна, то при e ® 1 гипербола стремится к паре лучей на оси (ОХ) с вершинами А1 и А2, если e ® ¥, то гипербола стремится к паре параллельных прямых х = ± а (рис. 69). Эта теорема доказывается аналогично теореме 3.

Рис. 69

Замечание 1. . Если при выводе уравнения гиперболы через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2 , то будет а² = с² - ² и уравнение гиперболы запишется (60).

Гиперболы, заданные уравнениями (59) и (60) называются сопряжёнными. Сопряжённые гиперболы имеют они и те же асимптоты (рис. 70). Фокусы гиперболы (60): , . Её эксцентриситет e = , директрисы у = .

Рис. 70

Замечание 2. Если центром гиперболы является точка С(х₀, у₀) и действительная ось параллельна оси (ОХ), то уравнение гиперболы .

Парабола

Определение 34. Параболойназывается множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалёна от данной точки и от данной прямой (данная точка не лежит на данной прямой).

Данная точка F называется фокусом параболы, а данная прямая t – её директрисой.

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось (ОХ) проходила через фокус перпендикулярно директрисе в сторону от директрисы к фокусу. За начало координат возьмём середину отрезка между директрисой и фокусом (рис. 71). М Î параболе Û úFМú = d(М, t) (*). Обозначим d(F, t) = р. Тогда F( и прямая t будет иметь

Рис. 71

уравнение х = . Равенство (*) перепишется . Получили уравнение параболы. Так как обе части равенства неотрицательны, то возведение в квадрат даст эквивалентное уравнение

у² = 2рх (61).

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. В этом уравнении р > 0. Из уравнения (61) следуют свойства:

· парабола лежит в той полуплоскости с границей (ОУ), в сторону которой направлена ось (ОХ); · парабола симметрична относительно оси (ОХ); · при х ® ¥ ½у½ ® ¥; · парабола проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Начало координат называется вершиной параболы.

Рис. 72

Если М₀(х₀, у₀) Î параболе, то уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид уу₀ = р(х + х₀).

Теорема 7. Любые две параболы подобны.

Доказательство. Пусть у2 = 2рх и у2 = 2р1х - две параболы. Пусть у = кх – любая прямая, проходящая через начало координат. Пусть эта прямая пересекает параболы в точках М и N. Тогда, если прямая проходит в первом координатном углу, М(х1, ), N(х2, ). Так как М и N лежат на данной прямой, то у1 = кх1, у2 = кх2. Следовательно, , ,

Рис. 73

, . Отсюда , т.е. параболы подобны с коэффициентом подобия .

Замечание 1. Если вершиной параболы является точка С(х₀, у₀) и ось параболы параллельна оси (ОХ), то парабола имеет уравнение (у – у₀)² = 2р(х – х₀).

Замечание 2. Если в уравнении (7) р < 0, то парабола располагается в той полуплоскости с границей (ОУ), в которой лежит отрицательная полуось (ОХ). Уравнения х² = 2ру при любом р задают параболы, симметричные относительно оси (ОУ).

Общие свойства эллипса, гиперболы и параболы описывает следующая

Теорема 8. Для любых данных прямой t и точки F (F Ï t) множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до данной точки и до данной прямой есть постоянная величина e, есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.