Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве

Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору

На плоскости Дано:R = , М0(х0, у0), , , l 'M0, l ½½ . Найти условие, определяющее l. Пусть М(х, у). Рис. 33 М Î l Û коллинеарен Û либо 1) либо 2) координаты и пропорциональны. Рассмотрим оба случая. 1) М Î l Û Если , , то получим (14) Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Перепишем в координатах. Получим Отсюда (15) В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.     2) М Î l Û координаты и пропорциональны Û (16). Это каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

В пространстве Дано:R = , М0(х0, у0, z0), , , l 'M0, l ½½ . Найти условие, определяющее l. Пусть М(х, у, z). Рис. 331 М Î l Û коллинеарен Û либо 1) либо 2) координаты и пропорциональны. Рассмотрим оба случая. 1) М Î l Û Если , , то получим (141) Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Перепишем в координатах. Получим Отсюда (151) В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.   2) М Î l Û координаты и пропорциональны Û (161) Это канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Уравнения прямой, проходящей через две точки

На плоскости Дано:R = , М1(х1, у1), М2(х2, у2), М1 ¹ М2; l 'M1, l 'M2. Найти уравнения l. Так как М1 ¹ М2, то и l ½½ . Следовательно, можно использовать уравнения (15) и (16). Получим (17) Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки. Из уравнения (16) получим (18) Это каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки.

В пространстве Дано:R = , М1(х1, у1,z1), М2(х2, у2, z2), М1 ¹ М2; l 'M1, l 'M2. Найти уравнения l. Так как М1 ¹ М2, то и l½½ . Следовательно, можно использовать уравнения (151) и (161). Из уравнений (151) получим (171) t ÎR. Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки. Из уравнения (161) следует (181). Это канонические уравнения прямой, проходящей через две точки.

Общие уравнения прямой

Из уравнений (16) и (18) видно, что любую прямую на плоскости можно задать уравнением первой степени с двумя переменными. Возникает обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени с двумя переменными задаёт в аффинной системе координат на плоскости некоторую прямую? Аналогично, уравнения (16¹) и (18¹) эквивалентны системе двух независимых уравнений первой степени с тремя переменными. Поэтому возникает обратная задача: Любая ли система двух независимых уравнений первой степени с тремя переменными задаёт в аффинной системе координат в пространстве прямую?

I.Общее уравнение прямой на плоскости

Дано: R = и уравнение Ах + Ву + С = 0, где из коэффициентов А и В хотя бы один отличен от нуля.

Показать, что данное уравнение определяет прямую.

Доказательство. Пусть В ¹ 0. При х₀ = 0 из данного уравнения получаем у₀ = . Вектор не нулевой, поэтому существует и только одна прямая l такая, что l ' М₀, где М₀(х₀, у₀) и l ½½ . Запишем уравнение l, используя (16). Получим . После преобразования Ах + Ву + С = 0. Получили данное уравнение. Следовательно, оно задаёт прямую.

Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общее уравнение прямой на плоскости. При этом из доказательства следует, что вектор параллелен этой прямой.