Проекция на прямую параллельно данной плоскости

Пусть l – прямая, П – плоскость и l П. Пусть М – произвольная точка. Через точку М

проведём плоскость П1, параллельную П. Пусть М1 = l Ç П1. Точка М1 называется проекцией точки М на прямую l параллельно плоскости П. Свойства проекций. 10. Каждая точка имеет проекцию и только одну. 20. Точка совпадает со своей проекцией тогда и только тогда,

Рис. 12

когда она лежит на прямой l.

3⁰. Точки имеют одну и ту же проекцию тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, параллельной П.

4⁰. Если отрезок параллелен плоскости П, то он проектируется в точку. Если отрезок не параллелен плоскости П, то его проекция – отрезок.

5⁰. Проекция ориентированного отрезка есть ориентированный отрезок. Следовательно, проекцией вектора будет вектор. Он называется векторной проекцией данного вектора и обозначается (параллельно П). Если проектирование идёт параллельно только одной плоскости, то слова в скобках можно опускать.

6⁰. Равные и параллельные отрезки имеют равные проекции.

Доказательство. Пусть отрезки [АВ] и [СD] равны и параллельны. Если [АВ] параллелен плоскости П, то [СD] тоже параллелен плоскости П. В этом случае оба отрезка проектируются в точку. Следовательно, их проекции равны.

Рис. 13

Пусть [АВ], а поэтому и [СD], не параллельны плоскости П. Пусть [АВ] проектируется в [А₁В₁], а [СD] - в [С₁D₁]. При параллельном переносе на вектор Плоскость П₁ перейдёт в П₃, П₂ - в П₄, прямая l - сама в себя. Следовательно, все отрезки с концами в плоскостях П₁ и П₂ перейдут в некоторые отрезки с концами в плоскостях П₃ и П₄. Отсюда и следует, что [А₁В₁] равен и параллелен [С₁D₁].

7⁰. Если , то = .

Доказательство. Так как равные векторы имеют равные векторные проекции, то при сложении первый вектор можно отложить от любой точки. Пусть О Î l, . Если А ® А1, В ® В1, то = , = , . Так как , то + .

Рис. 14

8⁰. = a× . (Докажите самостоятельно)

Проекция вектора на ось

Определение 14. Осью называется прямая с фиксированным на ней единичным вектором. Этот вектор называется ортом оси.

Пусть - орт оси, -произвольный вектор, = . Так как векторы и коллинеарны и , то = a× . Число a называется числовой проекцией вектора на данную ось и обозначается прl . Из 70 и 80 свойств векторных проекций следует и .

Рис. 15

90. Векторные и числовые проекции вектора на сонаправленные оси параллельно одной и той же плоскости равны. Доказательство. Сонаправленные оси имеют один и тот же орт. Если и , то (по свойству отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями). Итак, векторные

Рис. 16

Проекции вектора на сонаправленные оси равны. Так как у этих осей один и тот же орт, то числовые проекции тоже равны.

10⁰. Так как направление оси можно задавать любым ненулевым вектором, сонаправленным с ортом оси, то можно говорить о проекции одного вектора на направление другого и обозначать ( проекция вектора на направление вектора параллельно плоскости П).