Определение и свойства векторов

Определение 1. Геометрический отрезок называется ориентированным, если указан порядок его концов.

Определение 2. Вектором (геометрическим вектором) называется ориентированный отрезок. При этом начало и конец ориентированного отрезка называются соответственно началом и концом вектора. Длина ориентированного отрезка называется длиной вектора.

Вектор обозначается , где А – начало, а В – конец вектора. Если начало и конец вектора нас не интересуют, то вектор обозначают . Длина вектора обозначается или . Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называют нулевым и обозначают . Если начало и конец вектора – различные точки (А ¹ В), то существует и только один луч с началом А, проходящий через точку В. Этот луч задаёт в пространстве направление, которое называется направлением данного вектора. Нулевой вектор не имеет направления.

Определение 3. Два вектора называются равными, если они либо оба нулевые, либо имеют одинаковые длину и направление.

Равенство векторов обладает следующими очевидными свойствами: 1) рефлексивность (всякий вектор равен сам себе); 2) симметричность ( если , то ); 3) транзитивность (если и , то ).

Множество всех равных векторов можно задать 1) одним из векторов (ориентированным отрезком); 2) упорядоченной парой точек; 3) длиной и направлением (в случае ненулевого вектора).

Пусть даны вектор и точка А. Если , то существует и только один вектор с началом в точке А, равный данному вектору. Это вектор (т.е. В = А). Если , то существует и только один луч, сонаправленный с вектором . На этом луче существует и только одна точка В, расстояние от которой до точки А равно . Но тогда

Рис. 1

(рис. 1). Будем говорить, что вектор отложен от точки А. Итак, любой вектор можно отложить от любой точки и только единственным образом.

Сложение векторов

Пусть и - любые два вектора. Чтобы к вектору прибавить вектор нужно отложить вектор от любой точки А ( ), от конца В полученного вектора отложить вектор ( ). Тогда вектор будет вектором суммы, т.е. . Иными словами, . Свойства сложения векторов.

Рис. 2

1⁰. Для любых двух векторов их сумма определена и однозначна. (Следует из определения).

2⁰. = для любого вектора . (Докажите).

3⁰. Для любого вектора существует противоположный вектор (- ) такой, что + (- ) = . (Докажите).

4⁰. для любых векторов и .

Доказательство. В случае, когда хотя бы один из векторов нулевой, утверждение следует из предыдущего свойства. Остаётся рассмотреть ненулевые векторы. При этом возможны следующие случаи.

а) Векторы и не параллельны. Пусть + = . Отложим от точки А вектор , пусть . Так как и имеют одинаковые длины и направления, то АВСD – параллелограмм. Следовательно, отрезки АВ и DC тоже имеют одинаковые длины и направления. Следовательно,

Рис. 3

. По правилу сложения векторов и . Отсюда .

б) Векторы и параллельны и одинаково направлены (сонаправлены). В этом случае при откладывании от точки А получим , (рис.4). Векторы и сонаправлены с вектором ,

Рис. 4

поэтому сонаправлены между собой. Очевидно, . Следовательно, , т.е. .

в) Случай, когда векторы и параллельны и противоположно направлены, рассмотрите самостоятельно.

Определение 4. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.

Очевидно, два вектора неколлинеарны тогда и только тогда, когда они ненулевые и не параллельные. Из случая а) проведённого доказательства следует ещё одно правило сложения неколлинеарных векторов:

Чтобы сложить два неколлинеарных вектора, достаточно отложить их от одной точки, построить на них, как на сторонах, параллелограмм, тогда диагональ этого параллелограмма, идущая из данной точки, будет задавать вектор суммы.

50. для любых векторов Доказательство. Для левой части получим . Для правой части . Результаты равны.

Рис. 5

Определение 5.Разностью упорядоченной пары векторов называется сумма первого вектора и вектора, противоположного второму, т.е.

.

Чтобы вычесть из одного вектора второй, достаточно отложить оба вектора от одной точки. Тогда вектор, соединяющий концы полученных отрезков и направленный в сторону уменьшаемого, будет вектором разности (рис. 5). Очевидно, это правило не зависит от того, будут ли векторы коллинеарными или неколлинеарными. Свойства разности:

Рис. 6

1⁰. Для любой упорядоченной пары векторов их разность определена и однозначна.

2⁰. Разность двух векторов антикоммутативна.

для любых векторов и .

3⁰. Не выполняется ассоциативный закон, а именно

для любых векторов , и .

Задача 1. АВСDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед, = , , ,

, , , . Найдите 1) ; 2) . Решение. 1)Так как , , , то = + + + = . 2) Так как и , то = .

Рис. 7