Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.
Решим следующую задачу, используя законы сложения и умножения высказываний.
Задача 4. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо её цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?
Решение.
1) Перечислим все имеющиеся высказывания:
Aº{машина синего цвета} – 1-е показание Брауна,
Bº{машина марки «Бьюик»} – 2-е показание Брауна,
Cº{машина чёрного цвета} – 1-е показание Джонса,
Dº{машина марки «Крайслер»} – 2-е показание Джонса,
Eºмашина марки «Форд Мустанг»} – 1-е показание Смита,
– 2-е показание Смита.
2) По условию задачи каждый из подозреваемых сказал правду или только про марку машины, или про её цвет.
Т.к. Браун дал показания А, В, то А или В – правда, что в записи математической логики будет выглядеть: «истина».
Джонс дал показания C, D, т.е. С или D – правда, что есть «истина».
Смит дал показания E, , т.е. Е или
– правда, что есть
«истина».
3) Следствие имеет показания Брауна и Джонса и Смита, т.е.
и
и
,
что в записи математической логики есть
«истина»,
т.к. истинно каждое из высказываний ,
,
.
4) Имеем: «истина».
Перепишем последнее выражение, учитывая, что является логической суммой, а есть логическое произведение:
«истина».
Раскроем скобки:
«истина».
5) Проанализируем каждое из слагаемых полученного выражения:
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего
и не синего
цвета;
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего
и чёрного
цвета;
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего
и не синего
цвета;
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Крайслер»
и машина «Форд Мустанг»
;
машина марки «Бьюик» и машина чёрного цвета и машина не синего цвета}
– в этом выражении внутренних противоречий нет, но мы пока что не знаем, истинно оно или ложно;
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик»
и машина «Форд Мустанг»
;
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик»
и машина «Крайслер»
;
«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик»
и машина «Крайслер»
.
6) Получили:
«ложь» «ложь» «ложь» «ложь» «ложь» «ложь» «ложь» =
«ложь» = =
= «истина», т.е. преступники скрылись на чёрном «Бьюике».
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Докажите формулу: AB =AB.
Задача 2.
На вопрос, кто из трёх студентов изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Кто из студентов изучал логику?
Задача 3.
«Вернувшись домой, комиссар Мегрэ позвонил в полицейский отдел на набережную Орфевр.
- Говорит Мегрэ. Есть новости?
- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжёт. Жуссье считает, что или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжёт. Затем звонила …
- Всё. Спасибо. Этого достаточно. – Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжёт. Теперь он знал всё».
Какой вывод сделал комиссар Мегрэ?
Указания.
1. Рассмотрите следующие высказывания:
A {Франсуа был пьян},
B {Этьен убийца},
C {Франсуа лжёт},
D {убийство произошло после полуночи}.
2. Запишите, используя логические операции, высказывания инспекторов Торранса, Жуссье и Люка. Составьте произведение этих трёх высказываний и упростите его.
Задача 4.
Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. На следствии каждый из них сделал два заявления.
Браун. Я не делал этого.
Смит сделал это.
Джонс. Смит не виновен.
Браун сделал это.
Смит. Я не делал этого.
Джонс не делал этого.
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой – дважды сказал правду, третий – один раз солгал, один раз сказал правду.
Кто совершил преступление?
Числа
Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа.
Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков. Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4…
При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число, и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли.
Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.
Дроби обозначаются, как : , где m и n - целые числа;
- это сокращение дроби; а
- это расширение дроби.
Дроби со знаменателем 10 - это десятичные дроби: .
Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби: 0,2525…=0,(25)= - чистая периодическая дробь, 1,2555…=1,2(5)=
- смешанная периодическая дробь.
Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры).
Декарт в 17 веке вводит понятие отрицательного числа. Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической. Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - введение действительных (вещественных) чисел - присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.
Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата). В алгебре иррациональные числа появились при извлечении корней . Примером трансцендентного, или иррационального числа являются числа π, е.
Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось(числовая прямая) это:
а) горизонтальная прямая линия с выбранным на ней направлением;
б) на оси задано начало отсчета – нулевая точка 0;
в) на оси задана единица масштаба.
Х
-2 -1 1 2 3