Простые и составные высказывания.

Есть два вида высказываний: 1) простые и 2) составные, или сложные.

Под простым высказыванием будем понимать такое высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания. Высказывания А и В предыдущего примера – простые высказывания.

Про простое высказывание всегда однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой.

Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок или логических операций, например, союзов «и», «или», слов «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», можно строить сложные высказывания.

Например, из высказываний Простые и составные высказывания. - student2.ru ; Простые и составные высказывания. - student2.ru , используя логические операции, можно образовать следующие сложные высказывания:

Простые и составные высказывания. - student2.ru ,

Простые и составные высказывания. - student2.ru ,

Простые и составные высказывания. - student2.ru

Простые и составные высказывания. - student2.ru .

Отметим, что сложные высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые не связаны между собой по смыслу. Например, высказывание:

Простые и составные высказывания. - student2.ru {если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами}

составлено при помощи логической операции «если…, то…» из двух высказываний, между которыми нет никакой смысловой связи.

Сложные высказывания, как и простые, всегда или только истинны, или только ложны. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие логические связки (операции) использованы для образования сложного высказывания. Во-вторых, истинность или ложность сложного высказывания определяется тем, какие из простых высказываний, образующих сложное высказывание, истинны, а какие – ложны.

Логические операции

Операции над высказываниями – логические операции – обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинности.

Операция отрицания, или отрицание высказывания

Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru (читается «не А», или «не верно, что А») – это отрицание высказывания А. Высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

А Простые и составные высказывания. - student2.ru

Отрицаниеодноместная, или унарная, операция.

Последующие операции – двухместные, или бинарные.

Например, если Простые и составные высказывания. - student2.ru - истинное высказывание, то

Простые и составные высказывания. - student2.ru - ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, что если Простые и составные высказывания. - student2.ru {в комнате холодно}, то Простые и составные высказывания. - student2.ru {в комнате не холодно}, но при этом высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru {в комнате жарко} отрицанием В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (логическим произведением) этих высказываний: Простые и составные высказывания. - student2.ru (выражение Простые и составные высказывания. - student2.ru читается: «А и В»).

Логическое произведение Простые и составные высказывания. - student2.ru истинно только в том случае, когда и А, и В одновременно истинны.

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А В Простые и составные высказывания. - student2.ru

Пусть, например, Простые и составные высказывания. - student2.ru , Простые и составные высказывания. - student2.ru . Тогда высказывание С – истинно, т. к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний, как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание

А = Простые и составные высказывания. - student2.ru Аi ; где i = 1; 2; …; n

имеет значение «истина», если и А1, и А2, и … Аn одновременно истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А1 Простые и составные высказывания. - student2.ru , А2 Простые и составные высказывания. - student2.ru , А3 Простые и составные высказывания. - student2.ru , А4 Простые и составные высказывания. - student2.ru . Тогда высказывание

А2 Ù А3 Ù А4 Простые и составные высказывания. - student2.ru {(8 = 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – ложное, в то время как высказывание

А1 Ù А3 Ù А4 Простые и составные высказывания. - student2.ru {(5 > 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (логической суммой) этих высказываний: Простые и составные высказывания. - student2.ru (выражение Простые и составные высказывания. - student2.ru читается: «А или В»).

Сумма Простые и составные высказывания. - student2.ru является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А В Простые и составные высказывания. - student2.ru

Пусть, например, Простые и составные высказывания. - student2.ru , Простые и составные высказывания. - student2.ru . Тогда высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru или Простые и составные высказывания. - student2.ru – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «или»:

А = Простые и составные высказывания. - student2.ru Аi ; где i = 1; 2; …; n

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «тогда и только тогда, когда…», называют эквивалентностью высказываний А и В: Простые и составные высказывания. - student2.ru .

Для эквивалентности используют знак Простые и составные высказывания. - student2.ru (или ).

Эквивалентность Простые и составные высказывания. - student2.ru представляет собой истинное высказывание, когда высказывания и А, и В оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А В Простые и составные высказывания. - student2.ru

Пусть Простые и составные высказывания. - student2.ru {число 3n является чётным}, Простые и составные высказывания. - student2.ru {число n является чётным}.

Высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru {число 3n является чётным тогда и только тогда, когда n – чётное число} есть эквивалентность высказываний А и В: Простые и составные высказывания. - student2.ru .

Операция импликации, или импликация высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В: Простые и составные высказывания. - student2.ru (выражение Простые и составные высказывания. - student2.ru читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация Простые и составные высказывания. - student2.ru ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».

Таблица истинности для операции импликации:

А В Простые и составные высказывания. - student2.ru

Первый член импликации Простые и составные высказывания. - student2.ru – высказывание А – называется посылкой, или условием, второй член В – заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует всё что угодно.

Например, утверждения «если 6 – простое число, то Простые и составные высказывания. - student2.ru » или «если Простые и составные высказывания. - student2.ru , то существуют ведьмы» являются истинными. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».

Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример.

Пусть Простые и составные высказывания. - student2.ru {папа завтра получит премию},

Простые и составные высказывания. - student2.ru {папа завтра купит сыну велосипед}.

Импликация Простые и составные высказывания. - student2.ru может быть сформулирована так:

«если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».

Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.

Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».

Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).

Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В – ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.

Задача 1. Даны два высказывания Простые и составные высказывания. - student2.ru и Простые и составные высказывания. - student2.ru . В чём заключаются высказывания Простые и составные высказывания. - student2.ru , Простые и составные высказывания. - student2.ru , Простые и составные высказывания. - student2.ru , Простые и составные высказывания. - student2.ru ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?

Решение.

1) Высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru , очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.

2) Высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru истинно, т.к. одно из слагаемых является истинным высказыванием.

Высказывание Простые и составные высказывания. - student2.ru можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства Простые и составные высказывания. - student2.ru .

3) Эквивалентность ( Простые и составные высказывания. - student2.ru тогда и только тогда, когда Простые и составные высказывания. - student2.ru ) представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.

4) Импликация Простые и составные высказывания. - student2.ru то Простые и составные высказывания. - student2.ru является истинным высказыванием.

В самом деле, импликация Простые и составные высказывания. - student2.ru согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.

Наши рекомендации