Простые и составные высказывания

Определение 3.1.Высказывание называется составным, если оно может быть представлено в виде комбинации нескольких высказываний, соединенных между собой логическими союзами. В противном случае высказывание называется простым.

Замечание. Пусть А – некоторое простое высказывание. Тогда высказывание ⅂А («не-А», «неверно, что А») по определению считается составным.

Замечание.Из определения 3.1 ясно, что каждое составное высказывание представляет собой комбинацию простых высказываний, соединенных между собой логическими союзами.

Приведем несколько примеров перевода составных высказываний с естественного языка на язык логики (результатом такого перевода, как у же говорилось, является логическая формула, своего рода «скелет» высказывания).

Пример 1.

«Если молоко не прокисло, я выпью стакан молока; в противном случае мне придется пить томатный сок или воду.» (3.1)

Перевод на язык логики высказывания (3.1) :

(М → Я) → (⅂М → (Т⋁В)). (3.1’)

Здесь

М: «Молоко не прокисло»,

Я: «Я выпью стакан молока»,

Т: «Мне придется пить томатный сок»,

В: «Мне придется пить воду».

Замечание.В (3.1’) скобки указывают на последовательность логических операций, однако при обозначении операции отрицания мы обошлись без скобок, т.к. считаем, что оператор ⅂ всегда действует первым на ближайшее справа высказывание. Сделанное замечание относится также ко всему дальнейшему изложению.

Пример 2.

«Я сдам экзамен по математике в том и только том случае, если высплюсь; но выспаться мне удастся, только если я выключу компьютер в 9 часов вечера.» (3.2)

Перевод на язык логики высказывания (3.2):

(Я ↔ В) ⋀ (В → К). (3.2’)

(Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно определить, какие простые высказывания обозначены в (3.2’) заглавными буквами В , К, Я.

Пример 3.

«Маша и Петя – друзья, при этом они еще и соседи.» (3.3)

Перевод на язык логики высказывания (3.3):

Д ⋀ С (3.3’)

Здесь

Д: «Маша и Петя – друзья»,

С: «Маша и Петя – соседи».

Заметим, что оба высказывания Д и С – простые (а не составные, невзирая на наличие в них союза «и»). Дело в том, что, например, предложение «Петя – сосед» не имеет смысла без указания на то, чей он сосед.

Пример 4.

«Завтра Ваня пойдет либо в театр, либо в музей.» (3.4)

Перевод на язык логики высказывания (3.4):

Т⩒М (3.4’)

Заметим, что можно обойтись обычной дизъюнкцией, но тогда соответствующая логическая формула становится более громоздкой:

(Т ⋀ ⅂М) ⋁ (⅂Т ⋀ М) (3.4”)

Здесь

Т: «Завтра Ваня пойдет в театр»,

М: «Завтра Ваня пойдет в музей».

Таблицы истинности для логических операций . Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание

Конъюнкция

А	В	А⋀В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Итак, если хотя бы одно из двух высказываний А, В ложно, то их конъюнкция ложна. Если же оба высказывания А, В истинны, то истинна и их конъюнкция. Такое определение вполне соответствует употреблению союза «и» в естественном языке.

Дизъюнкция

А	В	А⋁В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Представленная таблица истинности для дизъюнкции также превосходно согласуется с употреблением в естественном языке неразделительного союза «или».

Отрицание

А	⅂А
И	Л
Л	И

Итак,при любых обстоятельствахисходное высказывание А и его отрицание ⅂А должны иметь противоположные значения истинности. Приведем пример, поясняющий сказанное.

Пример.

А: «Петя кушает кашу».

Возможные способы отрицания:

а) Универсальный способ, всегда приводящий к правильному результату:

⅂А: «Неверно, что Петя кушает кашу»

б) Постановка частицы «не» перед сказуемым (этот способ не всегда приводит к правильному результату):

⅂А: «Петя не кушает кашу»

Замечание.Попробуем в предыдущем примере поставить частицу «не» иначе, чем это сделано в пункте б) (т.е. не перед сказуемым). Например,

В: «Петя кушает не кашу»

Высказывание В не является отрицанием для А, так как в принципе возможна ситуация, когда “Петя ничего не кушает”; в этом случае, очевидно

А = В = Л,

тем самым В Простые и составные высказывания - student2.ru ⅂А .