Допускающие понижение порядка

Одним из основных методов решения уравнений высших порядков является понижение порядка уравнения, т.е. сведение его с помощью соответствующей замены к дифференциальному уравнению более низкого порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

I тип. Уравнение вида Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Заметим, что уравнение не содержит Допускающие понижение порядка - student2.ru и Допускающие понижение порядка - student2.ru . Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием. Введем новую функцию Допускающие понижение порядка - student2.ru , полагая Допускающие понижение порядка - student2.ru . Тогда Допускающие понижение порядка - student2.ru , и уравнение превращается в уравнение первого порядка: Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Решая его, находим, что Допускающие понижение порядка - student2.ru . Так как Допускающие понижение порядка - student2.ru , то Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Интегрируя еще раз, получаем искомое решение:

Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

где Допускающие понижение порядка - student2.ru и Допускающие понижение порядка - student2.ru - произвольные постоянные.

Пример 2Найти общее решение уравнения

Допускающие понижение порядка - student2.ru

Решение: Положим Допускающие понижение порядка - student2.ru ; тогда Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Получаем уравнение первого порядка Допускающие понижение порядка - student2.ru . Интегрируя его, найдем Допускающие понижение порядка - student2.ru или Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Интегрируя второй раз, находим искомое общее решение:

Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

т.е. Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Замечание

Аналогичным способом решение уравнения вида Допускающие понижение порядка - student2.ru находится методом Допускающие понижение порядка - student2.ru - кратного интегрирования.

II тип. Уравнение вида Допускающие понижение порядка - student2.ru , т.е. уравнение не содержит явным образом Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Положим, как и в предыдущем случае, Допускающие понижение порядка - student2.ru . Тогда Допускающие понижение порядка - student2.ru , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка Допускающие понижение порядка - student2.ru относительно неизвестной функции Допускающие понижение порядка - student2.ru . Решая его, находим общее решение Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Так как Допускающие понижение порядка - student2.ru , то имеем уравнение Допускающие понижение порядка - student2.ru . Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

где Допускающие понижение порядка - student2.ru и Допускающие понижение порядка - student2.ru - произвольные постоянные.

Пример 3Найти общее решение уравнения Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Решение: Полагая Допускающие понижение порядка - student2.ru , получаем линейное уравнение первого порядка Допускающие понижение порядка - student2.ru . Решаем его с помощью подстановки Бернулли Допускающие понижение порядка - student2.ru :

Допускающие понижение порядка - student2.ru

Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Отсюда имеем: Допускающие понижение порядка - student2.ru

Решаем сначала первое уравнение системы:

Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Подставляя Допускающие понижение порядка - student2.ru во второе уравнение системы, получим:

Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Следовательно, Допускающие понижение порядка - student2.ru . Тогда Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Интегрируя еще раз, находим искомое общее решение: Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Замечание

Аналогичным способом можно решать уравнение Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Полагая Допускающие понижение порядка - student2.ru , получим для определения Допускающие понижение порядка - student2.ru уравнение первого порядка Допускающие понижение порядка - student2.ru . Решая это уравнение, находим его общее решение Допускающие понижение порядка - student2.ru . Затем из соотношения Допускающие понижение порядка - student2.ru находим Допускающие понижение порядка - student2.ru путем Допускающие понижение порядка - student2.ru - кратного интегрирования.

III тип. Уравнение вида Допускающие понижение порядка - student2.ru , т.е. уравнение не содержит явным образом Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Для его решения вводим новую функцию Допускающие понижение порядка - student2.ru , полагая Допускающие понижение порядка - student2.ru , т.е. будем считать, что Допускающие понижение порядка - student2.ru есть функция от Допускающие понижение порядка - student2.ru (а не от Допускающие понижение порядка - student2.ru , как прежде). Тогда по теореме о производной сложной функции имеем:

Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Подставляя в уравнение выражения для Допускающие понижение порядка - student2.ru и Допускающие понижение порядка - student2.ru , получаем уравнение первого порядка относительно Допускающие понижение порядка - student2.ru как функции от Допускающие понижение порядка - student2.ru :

Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Решая его, найдем Допускающие понижение порядка - student2.ru . Так как Допускающие понижение порядка - student2.ru , то Допускающие понижение порядка - student2.ru . Разделяя переменные, получим Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Интегрируя это уравнение, находим общее решение данного уравнения:

Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

где Допускающие понижение порядка - student2.ru и Допускающие понижение порядка - student2.ru - произвольные постоянные.

Пример 4 Найти частное решение уравнения Допускающие понижение порядка - student2.ru , удовлетворяющее начальным условиям: Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Решение: Полагая Допускающие понижение порядка - student2.ru и учитывая, что Допускающие понижение порядка - student2.ru , получаем Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Отсюда или Допускающие понижение порядка - student2.ru ,или Допускающие понижение порядка - student2.ru .

В первом случае Допускающие понижение порядка - student2.ru , т.е. Допускающие понижение порядка - student2.ru . Но это решение не удовлетворяет начальным условиям. Во втором случае, из Допускающие понижение порядка - student2.ru следует Допускающие понижение порядка - student2.ru , т.е. Допускающие понижение порядка - student2.ru . Учитывая, что Допускающие понижение порядка - student2.ru и начальное условие Допускающие понижение порядка - student2.ru , получаем Допускающие понижение порядка - student2.ru . Поэтому имеем Допускающие понижение порядка - student2.ru или Допускающие понижение порядка - student2.ru . Разделяя переменные, будем иметь Допускающие понижение порядка - student2.ru или Допускающие понижение порядка - student2.ru . Отсюда Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Из начального условия Допускающие понижение порядка - student2.ru находим, что Допускающие понижение порядка - student2.ru . Таким образом, искомое решение задачи Коши есть функция

Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Задания для самостоятельного решения

Найти общие решения уравнений:

1) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

2) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

3) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

4) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

5) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

6) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

7) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

8) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

9) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

10) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

11) Допускающие понижение порядка - student2.ru ,

12) Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

13) Допускающие понижение порядка - student2.ru , Допускающие понижение порядка - student2.ru , Допускающие понижение порядка - student2.ru ;

14) Допускающие понижение порядка - student2.ru , Допускающие понижение порядка - student2.ru , Допускающие понижение порядка - student2.ru ;

15) Допускающие понижение порядка - student2.ru , Допускающие понижение порядка - student2.ru , Допускающие понижение порядка - student2.ru .

Наши рекомендации