Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений:число букв на произвольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека и т. д.

Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала: температура воздуха за определенный промежуток времени, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель( принимаем пулю за материальную точку) и т.д.

Биномиальный закон (распределение Бернулли)

В общей форме биномиальный закон описывает осуществление признака в Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru испытаниях с возвратом. Наглядной схемой таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru белых и Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru чёрных шаров. Если Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru — число появления белых шаров в выборке из Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru шаров, то

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

где Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru — вероятность появления при одном извлечении соответственно белого и чёрного, Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Производящая функция биномиального распределения задаётся формулой

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Основные характеристики биномиального распределения (математическое ожидание и дисперсия):

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Пример 1. Вероятность получения бракованного изделия равна 0,01. Какова вероятность того, что среди 100 изделий окажется не более 3 бракованных?

Решение. Пусть Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru . Согласно биномиальному закону и закону сложения имеем Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Билет 7. Непрерывные и дискретные случайные величины. Плотность вероятности. Нормальный закон распределения. Математическое распределение и дисперсия. Графическое представление. Примеры.

Случайная величина(далее СВ) – величина, которая принимает значение в зависимости от стечения случайных обстоятельств. (Пр.: число больных на приеме врача, число студентов в аудитории, номер бочонка, когда его вынимают из мешка, при игре в лото и т.п.)

СВ называется дискретной(далее – ДСВ), если она принимает счетное множество значений. (Пр.: число букв на произвольной странице книге, число волос на голове человека, число молекул в выделенном объеме газа и т.п.)

СВ называется непрерывной(далее – НСВ), если она принимает любые значения внутри некоторого интервала. (Пр.: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы и т.п.)

Вероятность

- предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний. (статистическое определение)

P(A)=limn→∞(m/n)

- отношение благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных случаев к общему числу равновозможных несовместимых событий. (классическое опредедение) P(A)=(m/n)

Распределение вероятностей — закон, описывающий область значений СВ и вероятности их принятия.

  1. Распределение ДСВ. Дискретная величина (Х) считается заданной, если указаны ее возможные значения (xn) соответствующие им вероятности Р(хn)=pn. Совокупность Х и Р называется распределением ДСВ.
  2. Распределение НСВ.

dP=f(x)dx

dP – вероятность того, что НСВ Х принимает значения между х и х+dх. Вероятность dP прямо пропорциональна интервалу dx.

f(x) – плотность вероятности (функция распределения вероятностей). Показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от самой этой величины.

f(x)=dP/dx

x

F(x)=∫f(x)dx - функция распределения НСВ. Равна вероятности того, что СВ

-∞

принимает значения, меньшие х.

F(x)=(-∞<X<x)

Нормальный закон распределения (закон Гаусса).СВ распределена по этому закону, если плотность вероятности имеет вид

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

a=M(X) – мат.ожидание СВ, σ – среднее квадратическое отклонение, σ2- дисперсия СВ.

Дисперсия СВ – МО отклонения случайной величины от ее МО.

D(X)=M[X-M(X)]

Удобная формула: D(X)=M(X2)-[M(X)]2

Кривая закона носит колокообразную форму, симметричную относительно прямой х=а (центр рассеивания). В точке х=а функция достигает максимума.

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

По мере возрастания |х-а| функция f(x) монотонно убывает, асимптотически приближаясь к нулю. С уменьшением σ кривая становится все более и более островершинной. Изменение а при постоянной σ не влияет на форму кривой, а лишь сдвигает ее вдоль оси абсцисс. Площадь, заключенной под кривой, согласно условию нормировки, равна единице. На рисунке изображены три кривые. Для кривых 1 и 2 а=0, но отличаются значением σ (σ12), кривая 3 имеет а≠0, σ=σ2.

Вычислим функцию распределения.

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Обычно используют иное выражение. Введем новую переменную t=(x-a)/σ. Следовательно, dx=σdt. Подставляем это в формулу.

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Значение функции Ф(t) обычно находят в составных таблицах, так как интеграл через элементарные функции не выражается. График:

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Случайная величина при нормальном распределении может находится в интервале (х1, х2). Вероятность этого равна

Р(х1<x<х2)=Ф((х2-а)/σ)-Ф((х1-а)/σ)

Случайной величиной, называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. - student2.ru

Допустим, что произвольно из нормальных распределений выбираются группы по n значений СВ. Для каждой группы можно найти средние значения (х1, х2, хi). Они сами образуют нормальное распределение (только среднему значению будет соответствовать не вероятность, а относительная частота). МО будет соответствовать исходному, дисперсия и среднее квадратическое отклонение – отличаться в n и в √n соответственно.

Dn=D/n и σn=σ/√n.

На рисунке представлены графики нормальных распределений, полученных для групп со значением n, равными 1, 4, 16 и n→∞. При n=1 – исходное распределение, σn=σ. При n→∞ σn→0, фактически «группа СВ» - все исходное распределение, среднее значение выражается одним числом и соответствует МО, к которому сводится все распределение.

Наши рекомендации