Общие теоремы строительной механики

Теорема Бетти (о взаимности работ). Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 3.6). Соответствующие им силы назовем силами первой и второй группы. Представим себе два варианта загружения балки:

1) Вначале статически приложим силы первой группы, затем их зафиксируем и добавим – также статически – силы второй группы. Очевидно, что процедура, показанная на рис. 3.5, является частным случаем рассматриваемой, поэтому по аналогии с формулами (3.6) и (3.7) суммарную работу нагрузки можно представить в следующем виде:

A_I = A₁₁ + A₁₂ + A₂₂,

где A₁₁ – работа первой группы сил на вызванных ими перемещениях;

A₁₂ – работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы;

A₂₂ – работа второй группы сил на вызванных ими перемещениях.

Рис.3.6

2) Во втором варианте загружения вначале статически приложим силы второй группы, затем их зафиксируем и добавим силы первой группы. В этом случае суммарная работа сил будет равна:

A_II = A₂₂ + A₂₁ + A_11.

Работа сил, приложенных к идеально упругому телу, не зависит от истории загружения и определяется только начальным и конечным состоянием системы, поэтому, приравнивая A_I и A_II, получим:

A₁₂ = A₂₁ . (3.8)

Итак, теорема Бетти утверждает, что работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы, равна работе второй группы сил на перемещениях, вызванных силами первой группы.

Поскольку работа внешних сил равна и противоположна по знаку работе внутренних сил: A = - W, теорема Бетти справедлива и для них:

W₁₂ = W₂₁ .

Отметим, что эта теорема является основной среди общих теорем строительной механики – две другие можно рассматривать как следствия теоремы Бетти.

Теорема Максвелла (о взаимности удельных перемещений). Рассмотрим два состояния упругой системы. Пусть первое из них представлено силой P_i = 1 , приложенной в точке i , а второе – силой P_j = 1, приложенной в точке j (рис. 3.7).

Рис.3.7

Здесь и в дальнейшем удельные перемещения мы будем обозначать не заглавными буквами D_i, а строчными – d_i .

Поскольку перемещение всякой точки упругой системы, пропорционально приложенной силе, между D_ji на рис. 3.5, а и d_ji на рис. 3.7 существует зависимость: D_ji = P_id_ji или, сменив последовательность индексов на более привычную:

D_ij = P_j d_ij. (3.9)

Воспользуемся теоремой Бетти, записав формулу (3.8) в виде:

P_i d_ij = P_jd_ji .

Учитывая, что в последнем выражении P_i = P_j = 1, получим:

d_ji = d_ij (3.10)

Итак, теорема Максвелла утверждает, что перемещение точки i от единичной силы, приложенной в точке j , равно перемещению точки j от единичной силы, приложенной в точке i.

Теорема Релея (о взаимности удельных реакций). Для СНС в качестве внешних сил, фигурирующих в теореме Бетти, могут выступать реакции, вызванные кинематическими воздействиями.

Рассмотрим два состояния упругой системы, где первое соответствует единичному смещению i – ой моментной связи на левом конце балки, а второе – единичному смещению j – ой линейной связи на ее правом конце. Обозначим через D_ij и q_ij линейное перемещение и угол поворота i – ой связи от единичного смещения j – ой связи (рис. 3.8).

Рис.3.8

Работа первой группы сил на перемещениях второго состояния системы будет равна:

A₁₂= r_ii×q_ij + r_ji×D_jj = r_ii× 0 + r_ji ×1 = r_ji.

Аналогично находим работу второй группы сил на перемещениях первого состояния:

A₂₁= r_ij ×q_ii + r_jj ×D_ji = r_ij ×1 + r_jj ×0 = r_ij.

Подставляя полученные выражения в (3.8), получим:

r_ij = r_ji . (3.11)

Таким образом, теорема Релея утверждает, что реакция i-ой связи от единичного смещения j-ой связи равна реакции j-ой связи от единичного смещения i-ой связи.

Примечания:

1. Если вместо единичной силы в точке i приложить единичный момент, зависимость (3.10) примет вид:

d_ij = q_ij .

Как видим, удельные перемещения d_ij могут иметь различную размерность. Проще всего ее найти из (3.9), принимая в этом выражении D_ij за обобщенное перемещение, а P_j - за обобщенную силу. Тогда [d_ij] = [ D_ij ] / [ P_j ] и мы получим:

а) для силы, приложенной в точке j:

– [d_ij] = м/Н, если D_ij - линейное перемещение;

– [d_ij] = 1/Н, если D_ij - угловое перемещение.

б) для момента, приложенного в точке j:

– [d_ij] = м/(Нм) = 1/Н, если D_ij - линейное перемещение;

– [d_ij] = 1/(Нм), если D_ij - угловое перемещение.

2. Приведенное доказательство теоремы Релея может показаться неубедительным. В самом деле, мы ссылаемся в нем на теорему Бетти, в которой рассматриваются два состояния одной и той же системы, загруженной различной нагрузкой. Можно ли это утверждать в отношении двух балок, изображенных на рис. 3.8, а и 3.8, б? Ответ на этот вопрос будет положительным, если учесть следующее:

а) принцип освобождаемости от связей справедлив в отношении как СОС, так и СНС;

б) если реакции связей СОС вторичны, то есть появляются только в ответ на действие активных сил и образуют с ними уравновешенную систему, то реакции связей СНС, вызванные кинематическими воздействиями, образуют самоуравновешенную систему сил;

в) напряженно-деформированное состояние в заданной СНС, вызванное смещением i-ой связи, тождественно НДС в эквивалентной упругой системе, полученной из заданной путем устранения этой i-ой связи и загруженной активной силой, равной ее реакции.

Поскольку в нашем примере на рис. 3.8 речь идет о двух связях, для получения одной и той же системы нужно удалить обе. Если при этом число лишних связей заданной СНС будет меньше или равно двум, полученная система будет, очевидно, статически определимой или даже подвижной.

Итак, действительно две балки на рис. 3.8, а и 3.8, б можно интерпретировать как два состояния одной и той же системы (рис. 3.9, а, б).

Рис.3.9