Вопрос№4. Связи и их реакции. Аксиома связей.

Вопрос№.3.Аксиомы статики

Аксиомы статики.

Все теоремы и уравнения статики выво­дятся из нескольких исходных положений, принимаемых без матема­тических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F₁ = F₂) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны

Аксиома1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равнове­сии не может.

Аксиома2. Действие данной си­стемы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравнове­шенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсо­лютно твердое тело не изменится, если перенести точку при­ложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю па­раллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Аксиома4 (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но проти­воположное по направлению противодействие.

Закон о равенстве действия и противодей­ствия является одним из основных законов ме­ханики

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изме­няемого (деформируемого) тела, находящегося под действием дан­ной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сва­ренными друг с другом и т. д.

Аксиома 6 (аксиома связей).Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе).

Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.

Аксиома 1 Аксиома 2 Аксиома3 Аксиома 4

Рис.13

Решение: Обозначим искомую реакцию плоскости, направленную по нормали к этой плоскости, через , а натяжение веревки – через . Линия действия всех трех сил и пересекаются в центре шара . Примем вертикаль и горизонталь в точке за координатные оси и найдем проекции сил и на эти оси:

, , ,

, , .

Так как данная система сходящихся сил является плоской, то условия равновесия (4) имеют вид

1)

2)

Умножив первое уравнение на , а второе на и сложив их, получим

.

Затем из первого уравнения находим

.

В случае, когда веревка, удерживающая шар, параллельна наклонной плоскости , получим , .

Для решения этой же задачи графическим способом, необходимо построить замкнутый силовой многоугольник. Построение силового многоугольника всегда нужно начинать с известных, заданных сил. Из произвольной точки (рис.13б) проведем вектор , параллельный данной силе , длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы. Затем через точки и проводим прямые, параллельные линиям действия искомых сил и , которые пересекутся в точке . Векторы и определяют искомые силы и .Чтобы найти направление искомых сил на силовом треугольнике , нужно обойти этот треугольник по его периметру, причем направление этого обхода определяется направлением данной силы . Измерив длину сторон и и зная масштаб, в котором построена сила , найдем численные значения сил и .

6. Равнодействующая системы сходящихся сил. Геометрический и аналитический способы определения равнодействующей.

Равнодействующая системы сходящихся сил - сила, оказывающая на твёрдое тело такое же механическое действие, как и данная система приложенных ктелу сил. В простейших случаях (например, для сил, приложенных в одной точке или расположенных в однойплоскости) равнодействующую можно найти, последовательно применяя закон параллелограмма сил.Равнодействующую имеет не всякая система сил, например, пара сил или две силы, не лежащие в одной плоскости, равнодействующей не имеют.

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех заданных векторов на эти оси (рис. 3.4а). Складываем проекции всех векторов на оси х и у (рис. 3.46).

Рис.3.4

FΣч = Flx + F2x + F3x + F4x; FΣн = Fly + F2y + F3y + F4y;

; .

Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:

.

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействую­щей с осями координат (рис. 3.5). Растяжение сжатие Продольные силы и определение напряжений.

;

Рис.3.5

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме. Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:

FΣ = 0.

Условия равновесия в аналитической форме можно сформулиро­вать следующим образом:

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, ес­ли алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю. Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил: .

Вопрос 12

Докажем лемму: Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F' и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F'=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F', F"), так как (F',F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M_B(F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Вопрос 13

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки взятое со знаком плюс или минус. Плечом h силы относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т.е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы . Обозначим Мо( ) или Мо алгебраический момент силы относительно точки О. Тогда:Мо( ) = ±Fh.Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берём знак плюс, если по часовой стрелке – знак минус.Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину. (в СИ Н*м).
Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль её линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по величине, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:
Мо( ) = ±2 пл. ▲±ОАВ.

Впрос 14

Теорема Пуансо. Силу, приложенную к твердому телу, можно из данной точки, не изменяя ее действия, перенести параллельно самой себе в любую другую точку тела (или пространства), прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится. Точку, к которой приводят систему сил, называют центром приведения данной системы сил.

Осн теор статики (теорема Пуансо): Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. Пусть О — центр приведения, принимаемый за начало коорди­нат, r₁,r₂, r₃,…, r_n–соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил F₁, F₂, F₃, ...,F_n, составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Перенесем силы F₁, F_a, F₃, ..., F_n в точку О. Сложим эти силы как сходящиеся; получим одну силу: F_о=F₁+F₂+…+F_n=åF_k, которая равна главному вектору (рис. 4.2, б). Но при последователь­ном переносе сил F₁, F₂,..., F_n в точку О мы получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁, F”₁), (F₂,F”₂),...,(F_n, F"_n).Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О: М₁=М(F₁,F”₁)=r₁ x F₁=М_о(F₁), М₂=М(F₂, F”₂)=r₂ x F₂=М_о(F₂), …, М_п=М(F_n, F"_n)=r_n x F_n=М_о(F_n). На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в) М₀=М₁+М₂+...+М_n=М_о(F₁)+М_о(F₂)+…+ М_о(F_n)==åМ_о(F_k)=år_k x F_k. Систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой F_o=åF_k (4.2) и парой сил с моментом M₀=åM₀(F_k)=år_k x F_k. (4.3). В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент.

Вопрос

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки.Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O₁. Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M_O1Z=åM_o1z(F_k) (5.11). С другой стороны, имеем M_O1Z=M_Olz(R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M_Oz=0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M_O1z(R)=åM_OlZ(F_k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R₁ приложена в какой-либо точке О₁ с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F_o и главный момент М_Оя при центре приведения в начале координат. Так как R₁=F_o, то составляющие равнодей­ствующей по осям х и у равны R_lx=F_Ox=F_Oxi и R_ly=F_Oy=F_oyj. Согласно теореме Вариньона мо­мент равнодействующей относительно на­чала координат равен главному моменту при центре приведения в начале коорди­нат, т. е. М_оz=M_Oz(R₁)=xF_Oy–yF_Ox. (5.14). Величины M_Oz, F_Ox и F_oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и ув уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты ли­нии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F_ox≠0 его можно переписать в виде y=(F_oy/F_ox)x–(M_oz/F_ox).

Вопрос

Заделка одного тела в другое (например стержня в неподвижную стену) не позволяет данному телу перемещаться и поворачиваться относительно другого. В случае заделки силовая реакция R_A не является единственным фактором взаимодействия между телом и опорой. Кроме этой силы реакцию заделки определяет также пара сил с неизвестным заранее моментом M_A. Если силу R_A представить ее составляющими X_A, Y_A, то для нахождения реакции заделки надо определить три неизвестные скалярные величины: X_A, Y_A, M_A.

Приведем примеры замены плоских систем параллельных распределенных сил их равнодействующими.

1. Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой.

Для такой системы сил интенсивность имеет постоянное значение: q = const.

При решении задач статики эту систему сил можно заменять сосредоточенной равнодействующей силой Q, равной по модулю произведению интенсивности q на длину отрезка AB = a ( Q = q · a) и приложенной в середине отрезка AB.

1. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону.

Для такой системы сил интенсивность q является переменной величиной, изменяющейся от нуля до максимального значения q_max по линейному закону.

Равнодействующая Q этой системы сил равна по модулю Q =0.5 · a · q_max и приложена в точке K, делящей отрезок AB в отношении AK : KB = 2 : 1.

19.Расчет составных конструкций
1.1. Расчет с разделением системы тел на отдельные тела
1.1.1. Систему тел по внутренней связи С разделяют на отдельные тела и рассматривают их равновесие.
1.1.2. От каждого из тел отбрасывают все связи, заменяя их действие реакциями [1, 2]. В заданных механизмах приложены следующие виды связей: неподвижный осевой шарнир (реакцию разлагают на составляющие, параллельные координатным осям X, Y ); подвижныйосевой шарнир (реакция N перпендикулярна опорной поверхности, направлена от нее); жесткая заделка (реакция представляет собой комбинацию реакции неподвижного шарнираX, Y и пары сил с реактивным
моментом m ).Составляющие реакции внутреннего шарнира С , приложенные к разным телам системы, по принципу действия и противодействия равны по модулю и направлены противоположно. Распределенную нагрузку заменяют сосредоточенной силой, приложенной посредине интервала и равной модулю произведения интенсивности нагрузки q на длину интервала.
1.1.3. Составляют уравнения равновесия, включающие уравнения проекций на стандартные оси и уравнения моментов (расчетное и проверочное). Центр расчетного уравнения моментов выбирают на пересечении линий действия максимального количества неизвестных реакций, проверочного уравнения – на пересечении линий действия известных сил, через которое не проходит ни одна из непроверенных неизвестных реакций. Рекомендуется уравнения равновесия составлять, рассматривая силы по очереди следующим образом: определяют угол острый α между линией силы и линией одной из осей; проекция силы на эту ось будет содержатьcos α, на вторую ось –sin α; проекция положительна, если угол совмещения вектора силы с осью острый, и отрицательна – если он тупой; определяют плечо силы, опуская перпендикуляр из центра на линию действия силы, и знак момента по направлению поворота плеча силой вокруг центра (при повороте плеча по часовой стрелке момент отрицателен, против - положителен). При произвольном положении силы для определения момента ее разлагают на составляющие, параллельные координатным осям (их величины равны соответствующим проекциям силы) и находят сумму моментов этих составляющих, используя теорему Вариньона [1, 2].
Таким образом, для каждого из тел составляют по 3 расчетных и 1 проверочное уравнение.
1.1.4. Решают систему из 6 расчетных уравнений относительно неизвестных реакций.
Подставляют найденные реакции в проверочные уравнения, модуль полученной суммы не должен превышать 0,02 Rср, гдеRср – среднее значение модулей проверяемых реакций.
1.2. Расчет с использованием принципа отвердевания
1.2.1. Заменяют внутренний шарнир С жестким соединением и рассматривают равновесие полученного тела. Вторым рассматривают одно из тел системы (п.1.1.1).
1.2.2. Составляют чертеж для каждого из рассматриваемых тел аналогично п.1.1.2.
1.2.3. Для первого тела составляют 3 расчетные и 1 проверочное уравнение аналогично п.1.1.3. Для второго тела составляют одно расчетное уравнение моментов сил относительно центра С.
1.2.4.Решают систему из 4 расчетных уравнений и делают проверку аналогично п.1.1.4. 2.

2.Расчет с помощью принципа возможных перемещений.Реакции связей определяют, рассматривая их по очереди.

20.Условие равновесия рычага.Устойчивость тел при опрокидывании. Расстояние от точки опоры до прямой, вдоль которой действует сила, называют плечом этой силы. Обозначим F1 и F2 силы, действующие на рычаг со стороны грузов (см. схемы в правой части рис. 25.2). Плечи этих сил обозначим соответственно l1 и l2. Наши опыты показали, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к рычагу силы F1 и F2 стремятся вращать его в противоположных направлениях, причем модули сил обратно пропорциональны плечам этих сил: F1/F2 = l2/l1.Устойчивость тел при опрокидывании. Это задачи, возникающие при конструировании различных грузоподъемных механизмов и при расчете безопасных условий их эксплуатации, оговариваемых в правилах по работе с этими механизмами. Особенностью решения этих не очень сложных задач на плоскую систему сил является то, что при их решении не составляются уравнения равновесия. Отдельно определяются:а) опрокидывающий момент ( Мопр )- сумма моментов сил, которые стремятся опрокинуть рассматриваемый механизм относительно некоторой проектирующейся на чертеже в точку оси (точки опоры); в) удерживающий момент ( Муд )- сумма моментов сил, препятствующих опрокидыванию. Для устойчивой работы механизма необходимо, чтобы удерживающий момент с некоторым запасом был больше опрокидывающего. Отношение Муд ,/ Мопр =k принято называть коэффициентом устойчивости. Величина k должна быть, естественно, больше единицы. Для различных грузоподъемных механизмов и для разных условий их работы величина коэффициента устойчивости определяется из СНиП, ТУ и других источников. С учетом этого коэффициента приводятся расчеты величины груза противовеса или его положения на механизме, просчитываются варианты - при каком вылете стрелы и с какими грузами можно безопасно работать. Пример решения одной из задач на устойчивость приведен ниже. Особенно важно уметь выполнять элементарные расчеты на устойчивость в производственных условиях, когда приходится работать с предельными для имеющегося в распоряжении крана грузами.

21 Трение скольжения. Законы трения. Коэффициент трения.Между движущимися телами в плоскости их соприкосновения возникает сила трения скольжения. Обусловлено это прежде всего шероховатостью соприкасающихся поверхностей и наличием сцепления у прижатых тел. В инженерных расчетах обычно пользуются установленными опытным путем закономерностями, которые с некоторой степенью точности отражают действие силы трения. Эти закономерности называют законами трения скольжения (Кулона). Их можно сформулировать следующим образом.
1. При стремлении сдвинуть одно тело относительно другого в плоскости их соприкосновения возникает сила трения F , модуль которой может принимать любые значения от нуля до Fmax, т. е.0<=F<=Fmax . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.
2. Максимальная сила трения равна произведению коэффициента трения f на силу нормального давления N: Fmax=fN.
Коэффициент трения f — безразмерная величина, зависящая от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, температура, влажность и т. п.). Определяют его опытным путем.
Различают коэффициенты трения покоя и трения скольжения, причем последний, как правило, зависит и от скорости скольжения. Коэффициент трения покоя соответствует такоймаксимальной силе трения Fmax, при которой имеется предельное состояние равновесия. Малейшее увеличение внешних сил может вызвать движение. Коэффициент трения покоя, как правило, немного больше коэффициента трения скольжения. С увеличением скорости скольжения значение коэффициента трения скольжения сначала незначительно уменьшается, а затем остается практически неизменным. Значения коэффициентов трения для некоторых пар трения следующие: дерево по дереву 0,4-0,7; металл по металлу 0,15-0,25; сталь по льду 0,027.
3. Максимальная сила трения в довольно широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
Силу трения скольжения иногда называют силой сухого трения.

Угол и конус трения

Реакция реальной (шерохо­ватой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения . Следовательно, полная реакция будет отклонена от нормали к поверхности на не­который угол. При изменении силы трения от нуля до F_пр сила R будет меняться от N до R_пр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некото­рого предельного значения (рис. 26).

Рис.26

Наиболь­ший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что

.

Так как , отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

При равновесии полная реакцияR, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равно­весие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол .

Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи вокруг направления нормальной реакции.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверх­ности, приложить силуР, образующую угол с нор­малью (рис. 27), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psin будет больше (мы считаем N=Pcos , пренеб­регая весом тела). Но неравенство , в котором , выполняется только при , т.е. при . Следовательно, ни­какой силой, образующей с нормалью угол , меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или само­торможения тел.

Рис.27

Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения.

Трение качения

происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело всё время как бы вкатывается на горку.

Рис.33

Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем твёрже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рис.34

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса , лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу (рис. 34, а), меньшую F_пр. Тогда в точке А возникает сила трения , численно равная Q, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию тоже приложенной в точке А, то она уравновесит силу , а силы и образуют пару, вызывающую качение цилиндра. При такой схеме ка­чение должно начаться, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы .

Истинная же картина, как пока­зывает опыт, выглядит иначе. Объяс­няется это тем, что фактически, вслед­ствие деформаций тел, касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 34, б). При действии силы интенсивность давлений у края А убывает, а у края В воз­растает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону действия силы . С увеличением это смещение растет до некото­рой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара ( , ) с моментом и уравно­вешивающая ее пара ( ) с моментом Nk. Из равенства моментов находим или

Пока , каток находится в покое; при начинается качение.

Входящая в формулу линейная величина k называется коэф­фициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в санти­метрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и опре­деляется опытным путем.

Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости.

Для вагонного колеса по рельсу k=0,5 мм.

Рассмотрим движение ведомого колеса.

Качение колеса начнется, когда выполнится условие QR>M или Q>M_max/R=kN/R

Скольжение колеса начнется, когда выполнится условие Q>F_max=fN.

Обычно отношение и качение начинается раньше скольжения.

Если , то колесо будет скользить по поверхности, без качения.

Отношение для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения . Этим объясняетсято, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

Метод вырезания узлов.

Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов, определению усилий в стержнях фермы.

Активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях в этом случае - внутренние силы. Поэтому для определения усилий необходимо рассмотреть равновесие части фермы, для которой искомые усилия являются внешними силами.

При решении задач на расчете ферм способом вырезания узлов необходимо придерживаться следующего плана действий:

1. Выбор тела (или т ел),равновесие которого должно быть рассмотрено.

2. Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомые на другое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколько тел, может оказаться необходимым рассмотреть равновесие системы этих тел или последовательно равновесие каждого тела в отдельности.

3. Изображение действующих (активных) сил. Установив равновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следует на чертеже изобразить все действующие на это тело, (или тела) внешние силы, включая как заданные, таи и искомые сковы, в том числе реакции всех связей.

4. Составление условий равновесия. Условия равновесия составляют для сил, действующих на тело (или тела), равновесие которых рассматривается.

5. Определение ,реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, проверка правильности решения и исследование полученных результатов.

6. Вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и рассмотреть его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции

7. Переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла.

Методом Риттера

Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, например, для проверочных расчетов (рис. 4)

При расчете методом сечении рекомендуется такая последовательность действии:

1. Определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, находящееся под действием плоской системы сил.

2. Ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е., считая их растянутыми.

3. Затем составляются уравнения равновесия так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие.

4. Из полученных уравнений находятся неизвестные усилия в стержнях; если в ответе получается знак «-», то это означает, что стержень сжат, а не растянут.

Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных сил {F1, F2, ..., Fn}. При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки (рисунок 1.5, а).   Эта точка называется центром параллельных сил.   Согласно теореме Вариньона, если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).   Рисунок 1.5   Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся этой теоремой. Относительно оси x Mx(R) = ΣMx(Fk), - yCR= ΣykFk и yC = ΣykFk /ΣFk. Относительно оси y My(R) = ΣMy(Fk), - xCR = ΣxkFk и xC = ΣxkFk /ΣFk. Чтобы определить координату zC, повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда Mz(R) = ΣMz(Fk), - zCR = ΣzkFk и zC = ΣzkFk /ΣFk. Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид rC = ΣrkFk /ΣFk. Свойства центра параллельных сил:   1 Сумма моментов всех сил Fk относительно точки C равна нулю ΣMC(Fk) = 0. 2 Если все силы повернуть на некоторый угол α, не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой C.

<