Методы описательной статистики

Это методы описания выборок, исследуемых по количественному признаку Х, с помощью их различных числовых характеристик.

Преимущество данных методов заключается в следующем. Несколько простых и достаточно информативных статистических показателей, если они известны, во-первых, избавляют нас от просмотра сотен, а порой и тысяч значений вариант, а, во-вторых, позволяют получить более или менее точную оценку характеристик распределения признака в генеральной совокупности.

Описывающие выборку показатели разбиваются на несколько групп; в своем большинстве они имеют аналоги в виде числовых характеристик случайных величин в теории вероятностей.

Показатели положения описывают положение вариант выборки на числовой оси. Сюда относят:

а) минимальную и максимальную варианту;

б) выборочное среднее арифметическое значение (выборочное среднее), выборочные моду и медиану. Они определяют «центральную» точку распределения выборки: наиболее значимую для поставленной задачи варианту.

Выборочным средним называется величина

_в = , (31)

где х_i – i-ая варианта, полученная в опыте с i-ым элементом выборки; n – объем выборки.

Так, согласно данным табл.4 среднее выборочное значение массы тела новорожденных – _в = 3,47 кг и относится к центральному интервалу (интервалу наиболее вероятных значений).

Выборочная мода Мо_в – варианта, которая чаще всего встречается в исследуемой выборке, т.е. имеет наибольшую частоту.

Пример 1. На рис. 10 приведено предполагаемое распределение по возрасту заболевших дифтерией (на 10 тыс. населения соответствующего возраста), которое явно не соответствует нормальному. Очевидно, что знание среднего возраста заболевших ( _в » 7,8 года) в этом случае менее важно, чем знание возраста, в котором чаще всего возникает заболевание и который представляет собой моду (Мо_в » 4 года). Именно этот показатель указывает где должны быть сосредоточены главные профилактические меры: в школах или дошкольных учреждениях.

Выборочная медиана Ме_в – варианта, которая делит ранжированный статистический ряд (см. сноску на стр. 38) на две равные части по числу попадающих в них вариант.

Пример 2. Дан статистический ряд: 1; 2; 3; 3; 5; 6; 6; 6; 7; 8; 9; n = 11. Варианта, разделяющая этот ряд на две равные по количеству вариант части, занимает в ряду 6 место и равна 6, т.е. Ме_в = 6.

Показателиразброса описывают степень разброса данных относительно своего центра. Здесь обычно используются:

а) стандартное отклонение S и выборочная дисперсия D_в = S²*, характеризующие рассеяние вариант вокруг их среднего выборочного значения _в:

; (32)

б) размах выборки – разность между максимальной и минимальной вариантами: х_макс – х_мин;

в) коэффициент вариации:

n = × 100%, (33)

который применяется для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов: тот из них имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации больше.

Кпоказателям, описывающим закон распределения, прежде всего, относят гистограммы и полигон частот. О них шла речь в предыдущем разделе.

3.5. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке. Точечная и интервальная оценки

Напомним, что главная цель любого статистического исследования – установить закон распределения и получить значения характеристик изучаемого признака генеральной совокупности путем анализа выборки. Иначе говоря, надо определить генеральную среднюю _г = М(Х), генеральные дисперсиюD_г(Х), среднее квадратическое отклонение s_г, генеральную моду Мо_г, медиану Ме_г и другие характеристики генеральной совокупности путем статистического исследования выборки.

Точечная оценка характеристик генеральной совокупности –наиболее простой, но не очень достоверный способ. При данном способе в качестве оценок характеристик генеральной совокупности используются соответствующие числовые характеристики выборки. Например, в качестве генерального среднего используется выборочное среднее, в качестве генеральной дисперсии – выборочная дисперсия и т.д. Такие оценки и называются точечными. Их недостаток состоит в том, что не ясно, насколько сильно они отличаются от истинных значений параметров генеральной совокупности. Ошибка может быть особенно большой в случае малых выборок.

Интервальная оценка параметров генеральной совокупности –более достоверна. В этом случае определяется интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение исследуемого признака. Такой интервал называется доверительным интервалом, а вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины находится внутриэтого интервала – доверительнойвероятностью или надежностью. В медицинской литературе для этой величины используется термин «вероятность безошибочного прогноза». Обозначим ее g. Значения g задаются заранее (обычно в медико-биологических исследованиях выбирают значения g = 0,95 = 95% или g = 0,99 = 99%), после чего находят соответствующий доверительный интервал*.

Для построения надежных интервальных оценок необходимо знать закон, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности.

Рассмотрим, вначале для малых выборок (n < 30), как строится интервальная оценка генеральнойсредней _г = М_г(Х) признака, который в генеральной совокупности распределен по нормальному закону. В этом случае интервальной оценкой (с доверительной вероятностью g) генеральной средней (математического ожидания) _г = М_г(Х) количественного признака Х по выборочной средней _в при неизвестном s_г является доверительный интервал

_в – δ < М_г(Х) < _в + δ , (34)

или, в другой форме записи :

М_г(Х) = _в ± δ, (35)

где d = t_{g, n}× (S/ ) – полуширина доверительного интервала (точность оценки); n – объем выборки; S – выборочное среднее квадратическое отклонение;
S/ = S _в – стандартная ошибка выборочного среднего*, t_g,n – коэффициент Стьюдента (его значения определяются либо по соответствующим таблицам, либо содержатся в программных статистических пакетах обработки данных).

Анализ формулы (34) показывает, что:

а) чем больше доверительная вероятность g, тем больше коэффициент t_g,n и шире доверительный интервал;

б) чем больше объем выборки n, тем уже доверительный интервал.

При большой выборке (n > 30) полуширину доверительного интервала d определяют по соотношениям:

d = 1,96 S/ при g = 95% или d = 2,58 S/ при g = 99%.

Доверительный интервал существует и для s_г. Здесь мы его не приводим.

Подобные интервальные оценки с заданной надежностью даются и в тех случаях, когда рассматриваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности не по нормальному, а по другим законам.

Пример. Исследуется состояние дыхательных путей курящих. В качестве характеристики используется показатель функции внешнего дыхания – максимальная объемная скорость середины выдоха. Предполагая, что в генеральной совокупности данный параметр распределен по нормальному закону, найдите 95%-ный и 99%-ный доверительные интервалы для _г (т.е. М_г (Х)), характеризующие этих людей. Обследуемая группа – 20 курящих, _в=2,2 л/с, S = 0,73 л/с.

Решение:

1. Для g = 95% и n = 20 находим по таблицам коэффициент Стьюдента **
t_0,95;20 = 2,09 и полуширину доверительного интервалаd:

d = t_{g, n}× (S/ ) = 2,09 × = 0,342.

Теперь можем записать доверительный интервал для М_г(Х):

(2,2 – 0,342) л/с < М_г (Х) < (2,2 + 0,342) л/с,

т.е. 1,858 л/с < М_г(Х) < 2,542 л/с.

В более компактной эквивалентной форме записи:

М_г(Х) = (2,2 ± 0,342) л/с.

2. Для g = 99% и n = 20 t_0,99;20 = 2,86; тогда М_г(Х) = _г определяется неравенством:

(2,2 – 0,467) л/с < М_г (Х) < (2,2 + 0,467) л/с или 1,733 л/с < М_г (Х) < 2,667 л/с,

иначе М_г (Х) = (2,2 ± 0,467) л/с.

Полученные данные подтверждают ранее сделанный вывод: увеличение доверительной вероятности g «раздвигает» границы доверительного интервала.

Из формулы (34) понятно, как по заданной доверительной вероятности и объему выборки получить точность оценки М_г(Х) = _г.

Поставим обратную, практически значимую задачу. По заданной точности оценки d, т. е. по заданной полуширине доверительного интервала, определим необходимый объем выборки, обеспечивающий нужное d. Эта задача решается особенно просто в случае больших выборок (n > 30). Здесь, например, при доверительной вероятности 95 % d = 1,96 × S/ и, следовательно, необходимый объем выборки равен:

n ³ (1,96)² S²/d²

Пример 2. Исследователь хочет установить средний уровень гемоглобина для определенной группы населения. Учитывая предварительные данные, он полагает, что этот уровень составляет примерно 150 г/л со стандартным отклонением 32 г/л. Определите, сколько человек он должен обследовать (с какой выборкой он должен работать) при d= 5 г/л. и доверительной вероятности 0,95 = 95 %.

Решение: n = (1,96)² × 32²/5² = 157,4.

Таким образом, необходимо обследовать не менее 158 человек.