ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3

Основные понятия линейного программирования

В мире уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов.

Прикладная математика имеет очень важное методологическое значение в системе подготовки современного экономиста. В ней четко реализуется одна из основных идей изучения курса высшей математики в экономическом вузе – идея математического моделирования экономических процессов.

В разделах прикладной математики рассматриваются задачи об использовании ресурсов, о смесях, о раскрое материалов, транспортная задача, матричные игры, система планирования и управления, теория массового обслуживания.

В них требуется найти решение, когда некоторый критерий эффективности(например, прибыль, выручка, затраты ресурсов и т.п.) принимает максимальное или минимальное значение.

Задачи теории систем массового обслуживания предназначены для изучения и анализа систем обслуживания с очередями заявок или требований. Их цель – определить показатели эффективности работы системы.

Приведем некоторые определения.

Математическое программирование - это прикладная отрасль математики, которая является теоретической основой решения задач оптимального планирования.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наименьших или наибольших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум.

Решение экстремальных экономических задач можно разбить на три этапа:

- построение экономико - математической модели;

- нахождение оптимального решения одним из математических методов;

- практическое внедрение в народное хозяйство.

Экономико-математическая модель - это выражение экономической задачи в виде функций, уравнений, неравенств.

Математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) содержит:

1) совокупность неизвестных величин, которые должны быть неотрицательны

.

2) целевую функцию, .

3) условия (систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины, выраженные в виде уравнений или неравенств.

(1)

Оптимальным решением (или оптимальным планом) называется такое решение системы ограничений, при котором целевая функция принимает оптимальное (max или min) значение.

Систему ограничений (1) заданную в виде неравенств можно привести к системе уравнений, для чего нужно к левой части неравенства прибавить или отнять добавочную переменную.

Таким образом, ЗЛП приводится к канонической форме, когда система ограничений задана в виде системы m линейных уравнений с n переменными.

При этом возможны три случая:

1. Система ограничений несовместна.

Следовательно, ЗЛП не имеет решения.

2. Система ограничений совместная и определенная .

В этом случае система имеет единственное решение .

При этом если: а) хотя бы одна из переменных отрицательна, то полученное решение не может быть допустимым и ЗЛП не имеет решения; б) все переменные - неотрицательные, то найденное решение является допустимым, причем и оптимальным (так как оно единственное).

3. Система ограничений совместная и неопределенная .

У такой системы существует бесчисленное множество решений. Необходимо установить, имеются ли среди них допустимые.

Основные определения.

Любые переменных системы линейных уравнений с переменными называются основными (или базисными), если определитель из коэффициентов при них отличен от нуля. Этот определитель будем называть базисным минором матрицы А, из коэффициентов при переменных.

Тогда остальные переменных называются неосновными или свободными.

Основными могут быть различные группы переменных из , но их количество не превышает числа сочетаний из по :

Из бесчисленного множества решений выделяют базисные решения.

Базисным решением системы линейных уравнений с переменными называется всякое ее решение, в котором неосновные переменные равны нулю.

Каждой группе основных переменных соответствует одно базисное решение.

Базисные решения могут быть допустимыми или недопустимыми.

Базисное решение называется допустимым, если значения основных переменных неотрицательны, а неосновные переменные равны нулю.

Базисное решение называется недопустимым, если хотя бы одно значение переменной отрицательно.

Если в базисном решении хотя бы одна из основных переменных принимает нулевое значение, то оно называется вырожденным.