Матричные игры. Игры с «природой».
Система массового обслуживания. Уравнения Колмогорова.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
ВАРИАНТ 0
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
  |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Требуется наилучшим образом вложить «b» долларов в акции трех акционерных предприятий (АП), не более чем по «bi» долларов в каждое. Цены акций известны: 
, 
, 
. Дивиденды составляют: 
, 
, 
. Известно также, что с вероятностью p цена акции третьего АП может вырасти к концу расчетного периода до величины 
. Какой капитал следует вложить в каждое АП, чтобы получить максимальный доход?
3. Решить симплекс - методом.
Магазин оптовой торговли реализует три вида продукции I, II, III. Для этого используются два ограниченных ресурса: полезная площадь помещений, которая составляет 450 м2 и рабочее время работников магазина - 600 чел. час. Товарооборот должен быть не менее 240 тыс. руб. Разработать такой план товарооборота, который дает максимум прибыли. Затраты ресурсов на реализацию и получаемая при этом прибыль представлены в таблице.
| Продукция Ресурсы | Затраты ресурсов на реализацию | Объем ресурсов | ||
| I | II | III | ||
| Полезная площадь, м2 | 1,5 | |||
| Рабочее время, чел. час. | 1,5 | |||
| Прибыль |
ВАРИАНТ 1
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Под посев n культур отведено m земельных участков площадью 
га. Средняя урожайность j-ой культуры на i-ом участке составляет 
центнеров с га. Выручка за один центнер j-ой культуры 
рублей. Какую площадь на каждом участке следует отнести под каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану должно быть собрано не менее 
центнеров j-ой культуры?
3. Решить симплекс - методом.
Исходя из специализации и своих технологических возможностей фирма может выпускать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объем ресурсов (в расчете на трудовую неделю), расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и прибыль, полученная за единицу продукции, приведены в таблице. Требуется определить план выпуска, доставляющий предприятию максимум прибыли.
| Продукция Ресурсы | I | II | III | IV | Объем ресурсов |
| Трудовые ресурсы, чел. час. | |||||
| Полуфабрикаты, кг. | |||||
| Станочное оборуд., станк-ч | |||||
| Цена 1ед. продукции, руб. |
ВАРИАНТ 2
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Фирма «Лакомка» выпускает 4 вида полуфабрикатов: А, В, С, Д. Каждый полуфабрикат состоит из ряда ингредиентов (крахмал, сахар, витамины, ...). Всего их n. Пусть индекс i указывает на порядковый номер ингредиента 
, а индекс j указывает на порядковый номер полуфабриката 
. Обозначим через 
количество i-го ингредиента в 1 единице j-го полуфабриката. Предположим, что максимальное количество ингредиента i которым данная фирма располагает, равно 
. Доход, получаемый с одной единицы j-го полуфабриката, обозначим через 
. Фирма должна произвести не менее 10000 единиц полуфабриката А, 12500 ед. полуфабриката В, 15000 ед. полуфабриката С и 17000 ед. полуфабриката Д. Требуется построить оптимальный план выпуска продукции А, В, С, Д.
3. Решить симплекс - методом.
Фирма «Лесная пилорама» столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика на которой изготовляется фанера. Таким образом лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры. Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м2 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 и 180 м3 пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 16 долларов, а со 100 м2 фанеры 60 долларов.
ВАРИАНТ 3
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
| |
  |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Фирма «Супертранзистор» выпускает радиоприемники трех моделей: А, В, С. Доход за реализацию одной модели вида А составляет 
рублей, одной модели вида В составляет 
рублей, одной модели вида С составляет 
рублей. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100 приемников модели А, 150 приемников модели В и 75 приемников модели С. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия, его упаковки: на 10 приемников модели А требуется 3 часа для изготовления деталей, 4 ч на сборку и 1 ч на упаковку; на 10 приемников модели В требуется 3,5 часа для изготовления деталей, 5 ч на сборку и 1,5 ч на упаковку; на 10 приемников модели С требуется 5 часа для изготовления деталей, 8 ч на сборку и 3 ч на упаковку. В течение недели фирма может израсходовать на производство радиодеталей 150 часов, на сборку 200 ч и на упаковку 60 ч. Для решения задачи производственного планирования требуется построить соответствующую модель.
3. Решить симплекс - методом.
Можно закупить корм двух видов (I и II). В каждой единице корма I-го вида содержится 1 ед. витамина А, 2 ед. витамина В и нет витамина С; в каждой единице корма II-го вида - 2 ед. витамина А, 1 ед. витамина В и 1 ед. витамина С. Животному необходимо дать в сутки не менее 10 ед. витамина А, 10 ед. витамина В и 4 ед. витамина С. Составить наиболее дешевый рацион питания животного, если стоимость единицы I-го вида равна 2 денежных единиц, а стоимость единицы корма II-го вида - 4 денежных единиц.
ВАРИАНТ 4
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Торговое предприятие реализует n групп товаров. Известны нормативные затраты ресурсов в расчете на единицу каждой j-ой товарной группы аij и их общий объем bi. Целью решения данной задачи является определение оптимальной структуры товарооборота по критерию максимума прибыли F. Исходные данные представлены таблицей:
| № | Показатели | Товарная группа | Ограничения по объему | ||
| А | В | С | |||
| Рабочее время (чел. час) | 0,1 | 0,2 | 0,4 | ||
| Площадь торговых залов и складов (м2) | 0,05 | 0,02 | 0,02 | ||
| Издержки обращения (руб.) | |||||
| Торговая прибыль на ед. товара (руб.) |
3. Решить симплекс - методом.
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в таблице:
| Ресурсы | Нормы затрат ресурсов на 1 изд. | Общее кол-во ресурсов | |
| Стол | Шкаф | ||
| Древесина I вида | 0,2 | 0,1 | |
| Древесина II вида | 0,1 | 0,3 | |
| Трудоемкость (челов. час.) | 1,2 | 1,5 | |
| Прибыль |
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от реализации была максимальной.
ВАРИАНТ 5
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Для изготовления трех видов рубашек используется два вида пуговиц, два вида ниток и один вид ткани. Запасы пуговиц, ниток, ткани, суммарный ресурс рабочего времени, которые можно задействовать при производстве рубашек, а также нормы расхода пуговиц, ниток, тканей и рабочего времени на пошив одной рубашки каждого вида приведены в таблице. Здесь же приведены величины прибыли от реализации одной рубашки каждого вида.
| Наименование ресурса | Ед. изм | Объем ресурса | Нормы затрат ресурса на 1 рубашку | ||
| рубашка 1в | рубашка 2в | рубашка 3в | |||
| Пуговицы 1 | шт. | ||||
| Пуговицы 2 | шт | ||||
| Нитки 1 | м | ||||
| Нитки 2 | м | ||||
| Ткань | м2 | 1,1 | 1,4 | 1,2 | |
| Рабочее время | час | 0,25 | 0,3 | 0,4 | |
| Торговая прибыль на ед. товара (р) |
Кроме того, ситуация на рынке диктует необходимость выпуска рубашек первого вида не менее 110 штук. Необходимо составить такую программу выпуска продукции, чтобы при заданных ограничениях получить максимальную прибыль.
3. Решить симплекс - методом.
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31, 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которая получается при данном способе раскроя одного листа фанеры.
| Вид заготовки | Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу | |
| А | В | |
| I | ||
| II | ||
| III | ||
| Величина отходов |
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
ВАРИАНТ 6
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
На швейной фабрике ткань может быть раскроена n способами для изготовления нужных швейных изделий. Пусть из А(м2) ткани при 
ом варианте раскроя 
изготовляется 
деталей 
-го вида 
, а величина отходов при данном варианте раскроя составляет 
м2. Известно, что деталей 
го вида следует изготовлять по 
штук. Требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах. Составить математическую модель задачи.
3. Решить симплекс - методом.
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое ежедневно должны получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
| Вид корма | Кол-во ед. корма которое должны получать | Общее кол-во корма | |
| лисица | песец | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации 1-ой шкурки |
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
ВАРИАНТ 7
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
При откорме животных каждое животное должно получить не менее а ед. питательного вещества А, не менее b ед. вещества B, не менее с ед. вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма: I, II, III. Содержание единиц питательных веществ в 1 ед. каждого из видов корма приведено в таблице:
| Корм Вещества | Количество питательных веществ в 1 ед. корма | ||
| I | II | III | |
| А | |||
| В | |||
| С |
Составить дневной рацион, обеспечивающий необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах, если цена 1ед. корма I вида составляет Р1 усл. ден. ед., корма вида II - Р2 усл. ден. ед. и вида III- Р3 усл. ден. ед.
3. Решить симплекс - методом.
Фирма выпускает столы двух типов А и В. На производство одного стола вида А требуется 3 м2 доски и 12 мин. На производство одного стола вида В требуется 4 м2 досок и 30 мин. Прибыль от реализации стола вида А составляет 2 доллара, стола вида В - 4 доллара. За неделю фирма может закупить 1700 м2 досок и затратить 160 час. времени. При каком плане выпуска столов прибыль будет максимальной?
ВАРИАНТ 8
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных N1, N2, N3. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами А и В. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведен в таблице. В ней же указана величина отходов, которая получается при данном способе раскроя одного листа фанеры.
| Способы раскроя Вид заготовки | Количество заготовок при раскрое по способу | |
| А | В | |
| I | ||
| II | ||
| III | ||
| Величина отходов |
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не менее нужного количества заготовок при минимальных отходах.
3. Решить симплекс - методом.
Имеются три вида сырья А, В, С, которые используются для производства двух видов продуктов - I, II. В распоряжении фирмы-изготовителя находятся 500 ед. сырья А, 750 ед. сырья В и 200 ед. сырья С. Продукт I состоит из 1 ед. сырья А и 2 ед. сырья В. Продукт II состоит из 2 ед. сырья А, 1 ед. сырья В и 1 ед. сырья С. Доход от производства 1 ед. продукта I составляет 4 доллара, а от 1 ед. продукта II - 5 долларов. Сколько единиц каждого продукта следует производить, чтобы максимизировать прибыль?
ВАРИАНТ 9
1. Найти экстремум функции F при следующих ограничениях
 |
 |
2. Составить экономико-математическую модель задачи:
Магазин оптовой торговли реализует три вида продукции П1, П2, П3 при двух ограниченных ресурсах - полезная площадь помещений, которая составляет N м2 и рабочее время работников магазина - M чел. час. Товарооборот должен быть не менее Р тыс. руб. Разработать план товарооборота, приносящий максимум прибыли. Затраты ресурсов на реализацию и получаемая при этом прибыль представлены таблицей:
| Ресурс | Затраты ресурсов на реализацию, тыс. руб. | |||
| П1 | П2 | П3 | Объем ресурса | |
| Полезная площадь м2 | N | |||
| Рабочее время, чел. час. | 2,5 | М | ||
| Прибыль | С1 | С2 | С3 |
Составить математическую модель задачи.
3. Решить симплекс - методом.
Из листового проката определенной формы необходимо вырезать некоторое количество заготовок двух типов А и В для производства 90 штук изделий. Для одного изделия требуется 2 заготовки типа А и 10 заготовок типа В. Возможны четыре варианта раскроя одного листа проката. Количества заготовок А и В, вырезаемых из одного листа при каждом варианте раскроя и отходы от раскроя указаны в таблице.
| Вариант раскроя | Заготовки | Отходы от раскроя | |
| А | В | ||
| 4 шт. | 0 шт. | 12 ед. | |
| 3 шт. | 3 шт. | 5 ед. | |
| 1 шт. | 9 шт. | 3 ед. | |
| 0 шт. | 12 шт. | 0 ед. |
Какое количество листов проката нужно раскроить каждым вариантом для изготовления 90 штук изделий, чтобы отходы от раскроя были наименьшими?
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ