Матричные игры. Игры с природой

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные спо­ры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях - отстаивание интересов своего государства и т. п. Здесь каж­дый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производствен­ной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не мо­жет полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска про­дукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тен­денции. Например, для нормального функционирования про­изводства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разно­образных ресурсов, но с другой - стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах кон­фликтные ситуации возникают в результате сознательной де­ятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противо­действием другой стороны, а недостаточной информированно­стью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр - это математическая теория кон­фликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наи­более рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выиг­рышем могут быть эффективность использования дефицит­ных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации тео­рии игр разрабатываются применительно к таким специфи­ческим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то реко­мендации теории игр теряют смысл.

Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.

Определение 1. Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра - это совокупность правил, оп­ределяющих возможные действия (чистые стратегии) участ­ников игры. Суть игры в том, что каждый из участников при­нимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуа­ции, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилуч­ший исход. Исход игры - это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), ко­торая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). В дальнейшем будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количе­ственно: стоимостью, баллами и т. д.

Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Определение 2. Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Определение 3. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Вся­кая игра состоит из отдельных партий.

Определение 4. Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом.

В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Определение 5. Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием како­го-либо механизма случайного выбора, например с применени­ем таблицы случайных чисел.

Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порож­дают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число иг­роков.

Определение 6. Если в игре игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то такая игра называется игрой двух лиц (парная игра).

В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на конечные или бесконеч­ные. В зависимости от взаимоотношений участников разли­чают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коали­ционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой.

Определение 7. Игрой с нулевой суммой называется игра, в которой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш).

В играх с ненулевой суммой сумма выиг­рышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.

По виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др.

Определение 8. Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются матрицей.

В биматричных играх выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции. По количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.

В реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределен­ность ситуации для каждого из партнеров.

Определение 9. Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результа­та, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называются стратегическими.

Однако в экономической практике нередко приходится формализовать (мо­делировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а со­ответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельско­хозяйственного предприятия участков для посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем году наилуч­ший урожай; определение объема выпуска сезонной продук­ции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уров­ня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т. п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере - в буквальном смысле приро­да; во втором - уровень спроса; в третьем - размеры ожидае­мой прибыли.

В играх с природой степень неопределенности для созна­тельного игрока (статистика) возрастает: если в стратегичес­ких играх каждый из участников постоянно ожидает наихуд­шего для себя ответного действия партнера, то в статистичес­ких играх "природа", будучи индифферентной в отношении вы­игрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовывать такие состояния), ко­торые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

В дальнейшем мы будем рассматривать только парные матричные игры с нулевой суммой.