Формалистская программа обоснования математики.

По мнению Перминова, сама продуктивная программа.

Первые две программы были редукционистские: редукции математики к логике и к интуитивной арифметике. Здесь иначе.

Давид Гильберт (1863-1943) считал, что математические теории – некоторые формальные структуры. Все, что непротиворечиво, имеет смысл.Если докажем непротиворечивость математики – обоснуем ее.

Математика – не теория, а метод. Теория должна быть принята, если она непротиворечива, обосновать – значить показать непротиворечивость. Есть относительные доказательства непротиворечивости, нужно было абсолютное доказательство без ссылок. Никаких редукций, теории доказываются отдельно.

Как доказать непротиворечивость?

1. Аксиоматизировать.

2. Формализовать.

3. Прибавить логику и правила вывода

4. Пробуем доказать непротиворечивость.

Такие доказательства по Гильберту можно провести на основе метатеорий.

Метатеория - то, в рамках чего можно доказывать с использованием правил логики. Если бы удалось придумать такой метаязык (метатеорию), который был бы непротиворечив, и с помощью которого можно было бы переводить одни математические факты в другие – было бы круто. Это работа с текстом. Не вводим интуиционизм во всю математику.

Доказательства относительны: геометрия Лобаческого следует из Евклидовой, а она следует из… таким образом упираемся либо в арифметику, либо в теорию множеств.

Метатеория должна быть заведомо непротиворечивой, в математике есть априорные структуры, например элементарная математика (арифметика).По Гильберту в метаторию можем поместить элементарную математику.

Метатеория - должна быть:

1. финитна

2. конструктивна

3. содержательной

Замысел: теория непротиворечива, если из нее нельзя вывести ни одной формулы (потому что если есть противоречие, то можно вывести любую формулу)Противоречивость => все, что угодно. Если непротиворечивая система => есть невыводимые утверждения. Теория групп, исчисления высказываний, исчисления предикатов первого порядка, дискретная евклидова геометрия – непротиворечивы. Не удавалось доказать непротиворечивость арифметики.

В 1931 Курт Гёдель (1906-1972) доказал, что финитная метатеория недостаточна для обоснования теории множеств, две теоремы:

Теорема о неполноте:

Каждая формальная система, если достаточно богата, что включает в себя арифметику и непротиворечива, то в ней есть утверждения, формулируемые в этой теории, которые невозможно доказать и опровергнуть. (истинных утверждений больше, чем доказуемых).

Теорема о непротиворечивости:

-||-, то ее непротиворечивость лежит за пределами ее дедуктики. (нельзя доказать непротиворечивость теории средствами ее самой).

Таким образом, идея Гильберта провалилась, однако до 50х годов еще продолжались попытки пройти по этому пути.

Сейчас считается, что строгого обоснования математики достигнуть нельзя.

Существует не очень популярная точка зрения, которой, однако, симпатизирует лично Перминов: кроме гильбертовского языка может существовать более широкий “эпиязык”, промежуточный между математикой и философией, в котором можно строго доказать непротиворечивость математических теорий.

Вопрос 8

Типы интуиции в математике.

Интуиция и логика в математике. Математика ассоциируется с интуицией, которая присуща молодым: 20+eps. Пик эрудиции к 30 годам. Из-за этого сдвиг наиболее плодотворного возраста для математики. Любой результат – плод воображения.

Интуиция – непосредственное рациональное знание об окружающем мире.

Типы:

1. Чувственная. Пример: ребенок тянется к родителям.
2. Интеллектуальная. Бергсон:“Настоящее познается только интуицией”.
3. Сверхинтеллектуальная.

Хомяков, Соловьев. Мистическая интуиция. Опыт не дает понимания вещей, разум – тоже. Мир понимается посредством мистической интуиции. Любое познание начинается с откровения.

В математике два типа интуиции.

1. Ассерторические интуиции.

1.1. Эмпирическая интуиция. Следование математика за опытом. Пример: функция непрерывна -> есть производная, но это неверно.

1.2. Индуктивная интуиция. Пример: поиск теорем, которые стоит доказывать.

1.3. Психологическая интуиция. “Вживание” в область.

1. Аподиктические. Абсолютные интуиции.

2.1. Арифметическая (предметная) интуиция.

2.2. Логическая интуиция. Пример: (А->B) -> (B̅->A̅).

2.3. Структурная интуиция. Пример: правила вывода.

2.4. Геометрическая интуиция.

Абсолютными можно обосновывать. Надо отделять аспект открытия и аспект обоснования.

Декарт: “ясное усмотрение ума, которое точнее, чем сама дедукция”.

Интуиция выше логики.

Конец 19-го века, Фреге, Рассел, Кутюра: интуиция в математике не нужна.

Кант: 5+7=12 – созерцание. Логически не следует, а из интуиции следует.

Фреге: конъюнкция 5 и 7.

Берем формулы => синтетического априори не существует, только аналитические.

Сводим к логике.

Вопрос 9