Применение анализа размерности для исследования флаттера в сжимаемом потоке

Дополним систему (5) скоростью звука а, м/с, которая характеризует сжимаемость воздуха. Из получившихся шести размерных параметров составим три безразмерные комбинации:

,

, (16)

- число Маха.

Функциональную зависимость, описывающую явление флаттера, выразим в виде уравнения:

φ(π₁, π₂, π₃) = 0, (17)

где φ — некоторая функция.

Оно может быть разрешено относительно величины π₂:

(18)

где ψ — некоторая функция двух переменных, вид которой определяется при решении конкретной задачи. Отсюда:

(19)

Для дальнейшего анализа удобно ввести в формулу (19) скоростной напор и преобразовать выражение (19) к виду:

(20)

Соотношения (19), (20) выражают структуру связей между величинами, определяющими явление флаттера. В этих соотношениях ψ-функция двух переменных ρL³/m и М, являющихся безразмерными величинами, и поэтому вид функции ψ определяется только формой обтекаемых поверхностей ЛА, распределением его упруго-массовых характеристик и не зависит от абсолютных величин параметров, определяющих явление флаттера. Последнее обстоятельство позволяет представить себе возможную процедуру модельных опытов в аэродинамических трубах, с помощью которой могут быть получены значения функции ψ в некоторой области изменения аргументов, определяющейся возможностями этих труб.

Пусть динамически подобная модель исследуемого ЛА испытывается в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью, где изменение режима достигается увеличением скорости потока V. Тогда, варьируя величину масштаба жесткостей модели K_f, удастся либо достичь флаттера при определенной величине V_кp, либо показать, что в исследованной области изменения K_f флаттер возникнуть не должен. Поскольку условия проведения опыта известны, можно вычислить все величины, входящие в формулу (20), и либо будет определено значение функции ψ_кр в точке с координатами (ρL³/m, М), либо будет показано, что ψ_кр превышает достигнутое в опытах значение ψ_дост. Может также иметь место случай, когда возникновение флаттера при параметрах исследуемого ЛА вообще окажется невозможным.

Совершенно аналогично можно представить себе опыты в аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью, где могут изменяться V и ρ, т.е. М и ρ, что позволит определить значения функции ψ_кр уже в некоторой области изменения (ρL³/m, М).

Затем результаты опытов с моделями можно, воспользовавшись теорией подобия, пересчитать к натурным величинам, чтобы получить характеристику флаттерных свойств исследуемого летательного аппарата. При этом необходимо учитывать, что пересчеты по теории подобия производятся при сохранении неизменными безразмерных комбинаций размерных величин, в данном случае ρL³/m=const и М=const. Но скорость V входит в обе части равенств (19), (20) и, чтобы выполнить условие М = const, пришлось бы принять, что пропорционально скорости потока V изменяется и скорость звука а.

Такая интерпретация условий возникновения флаттера представляется искусственной. Но полученные результаты можно интерпретировать иначе, используя то обстоятельство, что каждому числу М соответствует вполне определенная картина обтекания исследуемого ЛА. Тогда становится правомерной постановка вопроса о том, какой была бы скорость V_кp в данной среде, чтобы при той или иной картине обтекания возник флаттер исследуемого ЛА, т.е. какой вид имеет зависимость V_кp (ρL³/m, М) или q_кp (ρL³/m, М).

Для расчетных исследований флаттера такая постановка вопроса вполне естественна, поскольку приходится пользоваться аэродинамическими характеристиками, зависящими от числа М, в то время как критическая скорость флаттера при заданных аэродинамических характеристиках определяется упруго-массовыми характеристиками ЛА. Точно такой подход применяется при определении V_{кр несж}- критической скорости в несжимаемом потоке, точнее, в предположении об отсутствии влияния на флаттер сжимаемости воздуха, что соответствует условию М=0.