Критерии подобия для случая, когда сжимаемостью воздуха можно пренебречь
Выведем критерии подобия для случая, когда сжимаемость воздуха можно не учитывать. Система параметров, определяющих явление, должна включать следующие размерные величины:
L – характерный размер, м;
f – характерная жесткость, Н/м; (1)
m – характерная масса, кг;
ρ – плотность воздуха кг/м2;
V – скорость, м/с.
Из этих размерных величин можно составить две независимые безразмерные комбинации, которые должны быть одинаковыми для модели и натуры, чтобы реализовать подобие явлений:
число Коши - ,
число Ньютона - .
Из этих соотношений получаются критериальные уравнения, связывающие между собой масштабы моделирования:
(2)
, где (3)
, , , , - масштабы моделирования соответствующих размерных величин. Индекс «м» относится к модельным величинам, а индекс «н» — к натурным.
При получении формул (2), (3) каких-либо предположений об особенностях конструктивной схемы модели не делалось, поэтому они должны выполняться для моделей любых типов. Это важно при исследовании флаттерных характеристик несущих и управляющих поверхностей малого удлинения.
О подобии по числу Струхаля
Дополним систему размерных параметров (1), определяющих явление флаттера, еще одной размерной величиной — частотой колебаний ω. Для удобства преобразуем размерность жесткости f, введя размерности массы (кг) и ускорения (м/с2):
L – характерный размер, м;
f – характерная жесткость, кг/с2;
m – характерная масса, кг; (4)
ρ – плотность воздуха, кг/м3;
V – скорость, м/с.
ω – частота колебаний, 1/с.
Из шести размерных параметров в технической системе единиц составим согласно «π» теоремы анализа размерностей три независимые безразмерные комбинации:
- число Коши (5)
- число Ньютона (6)
- число Струхаля (7)
Используем тот факт, что величина так же как и величина имеет размерность ω , и поэтому комбинация:
(8)
будет безразмерной величиной.
Запишем (7), (8) в масштабных коэффициентах:
(9)
(10)
откуда:
(11)
Равенство (11) получено из анализа размерностей. При их выводе не требовалось учитывать индивидуальные особенности изучаемых колебаний. Поэтому масштаб частот Kω должен быть одинаков для самых различных видов колебаний (в пустоте, в потоке воздуха, при флаттере и т.п.). Подчеркнем, что кроме условий Ca=item и Nw=item должны быть выполнены и другие необходимые для моделирования изучаемого явления критерии подобия.
Заметим, что частоты внешних воздействий на ЛА при моделировании, например, полета в неспокойном воздухе следует, конечно, задавать в соответствии с Kω. Обратим внимание, что:
=Sh (12)
Равенство (12) означает, что каждая из величин Ca, Nw, Sh может быть выражена через две другие:
,
,
т.е. величины Ca, Nw, Sh не являются независимыми.
По поводу полученного результата сделаем два замечания.
1. В «π» теореме устанавливается, что независимых безразмерных комбинаций из n размерных величин, описывающих явление, можно составить:
n-m, где
m - число основных единиц выбранной системы измерений.
Способ составления безразмерных комбинаций теоремой не регламентируется и поэтому их выбор может оказаться не единственным.
2. Числа Ca, Nw, хотя и не содержат ω - размерной величины, характеризующей колебания исследуемого объекта, но параметры модели, режимы ее испытаний и частоты колебаний однозначно определяются требованиями подобия Ca=item и Nw=item. И поэтому при модельных испытаниях подобие всех процессов в рамках, сделанных предположений, должно соблюдаться автоматически.