Соотношения для коэффициентов линейной регрессии

Требуется найти оценки коэффициентов b₀,...,b_k по результатам наблю-

дения совокупности откликов системы y₁,..., y_N в ходе N экспериментов ,

считая, что полученные данные удовлетворяют линейной регрессии

y₁= b₀x₀₁+ b₀x₀₁+...+ b₀x₀₁+ ,

…

y_N= b₀x_0N+ b₁x_1N+...+b_kx_kN+ ,

где x_ij , i = ; j = − значения факторов в ходе экспериментов; ,

j = − случайные погрешности определения отклика c нулевым мате-

матическим ожиданием и дисперсию .

Столбцы матрицы X ортогональны, то есть =0,l ≠ r , 0 ≤ r ,l ≤ k .

Коэффициенты регрессии определяются в виде: = ,i= ;

Если теперь пронормировать факторы:

X_i^*= (x_i– x_i0 ) / Δx_i , x_i0= x_imin+ Δx_i ; Δx_i= (x_imax− x_imin ) / 2 , то условия ортогональности будут выполняться, если уровни факторов в

ходе эксперимента будут взяты симметрично относительно начала координат и равны +1 и −1.

Такой план эксперимента называется ортогональнымN = .

Если осуществляют все возможные сочетания уровней факторов, то

получают так называемый полный факторный эксперимент(ПФЭ).

Полный факторный план при двух уровнях называют еще планомD или

планом –2^k .

Пример формирования матрицы планирования при k = 2

5.Тактическое планирование. Соотношения для требуемого объема испытаний в модельном эксперименте при оценке среднего

Тактическое планирование –планирование конкретного модельного эксперимента при фиксированных исходных данных.

При фиксированных исходных данных модельный эксперимент состоит из серии повторяющихся имитаций процесса функционирования системы, что позволяет получить усредненную картину относительно ее эффективности с учетом случайного характера протекающих процессов и явлений.

Тактическое планирование сводится к решению двух типов задач:

1. Определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на установление стационарного режима работы модели;

2. Снижение погрешности (дисперсии) получаемых при моделировании оценок реакции системы при одновременном сокращении объема испытаний (числа прогнозов).

Первая задача тактического планирования в рамках рассмотренных подходов решается с использованием, в основном, эвристических приемов, опирающихся на знание физики разыгрываемых в ИМ процессов.

Вторая задача тактического планирования может быть решена строго математически. Это решение сводится к определению гарантированного объема испытаний (размера выборки, числа прогонов) для получения требуемой точности оценивания компонентов отклика системы, описывающих ее эффективность.

Снижение или исключение влияния начального периода времени при переходе в установившийся режим должно осуществляться при проведении каждого прогона модели. При этом используют три основных способа:

1. увеличение длительности каждого прогона так, чтобы влияние переходного периода было бы заведомо незначительным;

2. исключение из рассмотрения начального периода (введение этапа предварительной «раскрутки» процесса имитации);

3. искусственный подбор близких к режимным начальных условий для каждой реализации.