Адаптивные модели прогнозирования

Для краткосрочного прогнозирования экономического показателя определяющей является динамика процесса в последние моменты наблюдения, а не тенденция на всем отрезке наблюдения.

Если свойства динамичности преобладают над свойствами инерционности, то наиболее эффективными методами прогноза экономических процессов являются адаптивные методы, учитывающие информационную неравнозначность данных, возрастающую по мере расширения периода наблюдений.

Линейная модель Брауна

Пусть требуется в момент времени t сделать прогноз на k шагов вперед по последним n имеющимся значениям временного ряда y_t, t = 1,2,…,n.Можно для этого воспользоваться формулой y_p(t+k)= a₀(t)+a₁(t)∙k,где a₀(t),a₁(t)– параметры линейной модели в момент времени t составления прогноза, k– отрезок упреждения.Если отрезок упреждения составляет один шаг, т.е. k=1, то прогноз в момент времени t-1 должен вычисляться по формулеy_p(t)= y_p(t-1+1)= a₀(t-1)+a₁(t-1)∙1.Это означает, что параметры модели a₀, a₁ к моменту прогноза, например, t=1 должны быть известны.

1) Методом наименьших квадратов по n наблюдениям y_t и моментам t=1,2….,n определяем начальные значения коэффициентов a₀(0), a₁(0) линейной модели и строим прогноз на k шагов вперед в момент t-k: y_p(t)= a₀(t-1)+a₁(t-1)∙k.

2) Полагаем k=1 и сравнивая это значение с фактическим y_t для t=1, находим ошибку прогноза ε(t)= y_t- y_p(t-1) уровня y_t, вычисленного в момент времени t-1.

3) Корректируем параметры a₀, a₁ методом экспоненциального сглаживания по формулам , , где β– коэффициент характеризующий степень доверия наблюдениям при удалении отсчетов от текущего момента, 0<β<1.

4) По скорректированным данным находим значение y_p(t) в следующий момент t=2 и возвращаемся к пункту 2, продолжаем процедуру пока t<n.

5) Если t=n, то используем модель для прогнозирования, т.е. получаем прогноз в момент времени t=n на k шагов вперед y_p(n+k), как экстраполяцию последней тенденции.

Процедура модификации модели при перечете коэффициентов для t=1,2,…,nобеспечивает ее адаптацию в соответствии с динамикой процесса в последние моменты t=1,2,.., n.

Более общей линейной моделью прогнозирования является модель Хольта, в которой коэффициенты адаптируются по двум параметрам сглаживания 0 α₁, α₂ 1:

.

Раскрывая скобки и учитывая определение ε(t), получим

.

.

Модель Хольта-Уинтерса

Финансовые показатели, подверженные сезонным колебаниям,удовлетворительно моделируются временными рядами,включающими в себя как тренд, так и сезонную компоненту. Для краткосрочногопрогнозирования таких процессов можно использовать аддитивную модельХольта-Уинтерса с тремя сглаживающими параметрами , ,

.

Первые два слагаемых, как и прежде, предсказывают значения экономического показателя на k шагов вперед в момент времени t-k. Третье слагаемое корректирует показатель на величину сезонной составляющей. Для k=1 будет

,

.

Мультипликативная модель аналогична аддитивной модели с той лишь разницей, что рассчитанные по линейной модели уровни ряда корректируются путем их умножения на коэффициент сезонности экономического показателя

– формула для прогнозного значения в момент t-k на k шагов вперед.

Значение F(t+k-L) является значением коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель. Уточнение коэффициентов модели проводится по следующим ниже формулам. Так для k=1 получим

L – период сезонного цикла (для квартальных данных L=4, для месячных L=12), F(t-L+1) – значение коэффициента сезонности в момент времени t+1.Вычисление проводится в момент времени t+1–L.Параметры сглаживания a₁, a₂, a₃ подбирают путём перебора так, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).