Площадь плоской фигуры как величина

Прежде чем рассматривать площадь плоской фигуры, отметим некоторые ее особенности, без выполнения которых невозможно измерить площадь плоской фигуры.

(1) Каждая плоская фигура может быть помещена целиком внутри некоторого квадрата.

(2) Каждая плоская фигура должна быть ограничена конечным множеством отрезков, прямых, окружностей и др.

Вводить понятие площади плоской фигуры будем по той же схеме, что и введение понятия длины отрезка.

Пусть задано некоторое множество плоских фигур М={s,t,r,…x}, Введем в этом множестве отношение , означающее равенство площадей плоских фигур sи t (s=t), выражение означает, что плоская фигура «s» состоит из плоских фигур «t» и «r», обозначим через - некоторое положительное действительное число.

Опр. 4. Число называется площадью плоской фигуры , если для можно поставить в соответствие некоторое число так, чтобы выполнялись условия:

(1) = );

(2) ; (свойство аддитивности);

(3) - некоторой плоской фигуре соответствует число единица;

(4) если для плоских фигур множества S существуют две плоских фигуры, «е» и «i», каждой из которых сопоставляется число единица, то можно найти такое число , что (свойство инвариантности).

Например, е=1 кв см, i=1кв дм, (1кв. дм =100кв см) и пусть кв см, кв дм, тогда , т.е. к=0,01.

Очевидно, что единицей измерения площади является квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Отметим некоторые свойства площадей плоских фигур.

(1) Равновеликими называются плоские фигуры, имеющие одинаковые площади.

(2) Равносоставленными называются плоские фигуры, составленные из равных частей.

(3) Равносоставленные фигуры всегда равновелики.

(4) Можно доказать, что равновеликие фигуры всегда равносоставлены.

Аналогичным способом вводится понятие объема пространственной фигуры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (профиль – начальное образование)

1.Множество, элемент множества, способы задания множеств. Конечные и бесконечные числовые множества. Числовые множества: . Числовые промежутки, иллюстрации на прямой, примеры. Примеры множеств в курсе начальной математики.

2.Включение множества А в множество В (подмножество), иллюстрация на прямой, свойства включения, круги Эйлера, примеры. Равные множества, свойства равных множеств, примеры.

3. Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, равносильные множества, связь равных и равносильных множеств, примеры. 4. Операции пересечения, объединения, разности двух множеств, их свойства, иллюстрация на числовой прямой. круги Эйлера, примеры.

5. Декартово произведение двух различных множеств, иллюстрации на коор- динатной плоскости, примеры.

6. Высказывание, значение истинности высказывания. Примеры высказываний в курсе начальной математики.

7. Логическая операция с высказываниями, отрицание высказывания, конъюнкция высказываний, дизъюнкция высказываний, свойства, примеры.

8.Одноместный предикат. Множество истинности предиката, примеры.

9. Виды математических понятий. Определяемые и неопределяемые понятия в математике, объём и содержание понятия, примеры.

10. История возникновения натурального числа (количественного и порядкового). Определение натурального числа на основе теории множеств, натуральное число на основе теории множеств в курсе начальной математики.

11. Равенство и неравенство натуральных чисел на основе теории множеств. Теоретико-множественное истолкование равенства и неравенства чисел в курсе начальной математики, примеры.

12. Упорядоченность множества N на основе теории множеств, упорядоченность натуральных чисел в курсе начальной математики. Последовательность натуральных чисел на основе теории множеств.Счет элементов конечного множества, примеры из курса начальной математики.

13. Сумма чисел в множестве N на основе теории множеств. Существование и единственность суммы, свойства суммы: коммутативность, ассоциативность. Примеры из курса начальной математики.

14. Произведение натуральных чисел (на основе теории множеств), свойства произведения: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Свойства произведения в курсе начальной математики, примеры.

15. Образование систем названий чисел. Возникновение письменной нумерации. Позиционные системы счисления. Запись чисел в различных системах счисления, примеры. Перевод чисел из системы счисления с основанием в десятичную систему системы и обратно, примеры.

16. Сложение и вычитание чисел, записанных в системе счисления с основанием , примеры.

17. Делимость чисел в множестве . Свойства отношения делимости: де

ление числа на число нуль, числа на , числа на

число 1. Понятие делителя числа, числа простые и составные. Числа взаимно простые. Конечное множество делителей числа , наличие наибольшего и наименьшего делителя у числа , примеры.

18. Общий признак делимости Б.Паскаля, примеры. Частные признаки делимости числа на числа 2,3,5,9 (на основе общего признака делимости Б.Паскаля), примеры.

19. Общие делители двух данных натуральных чисел. Наибольший общий делитель двух данных чисел: , его вычисление при помощи алгоритма Евклида. Примеры.

20. Каноническое разложение числа в произведение простых множите-

лей, вычисление через каноническое разложение чисел , при-

меры.

21. Каноническое разложение числа в произведение простых множите-

лей, вычисление через каноническое разложение чисел , при-

меры..

22. Понятие функции, числовая функция, способы задания функции. Область определения функции, множество значений функции, график функции, примеры элементарных функций. Свойство функции: монотонность. Примеры.

23. Линейная функция свойства , график, примеры.
24. Прямая пропорциональная зависимость величин , график. Примеры прямой пропорциональной зависимости величин в курсе начальной математики.

25. Обратная пропорциональная зависимость величин , график. Примеры обратной пропорциональной зависимости величин в курсе начальной математики.

26. Принципы построения учения о множестве рациональных неотрицательных чисел ,определение рационального неотрицательного числа. Аксиома равенства чисел в множестве . Свойства отношения равенства: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Свойство инвариантности чисел в множестве , понятие обыкновенной дроби, примеры

27.Аксиомы суммы в множестве свойство коммутативности суммы, ассоциативности суммы, примеры.

28.Аксиомы произведения в множестве свойства коммутативности и ассоциативности суммы, примеры.

29.Связь между множествами и примеры.

30. Числовые выражения, их свойства, примеры. Числовые равенства и неравенства, их свойства, примеры.

31. Выражение с одной переменной. Уравнение с одной переменной. Решение уравнения. Примеры уравнений из курса начальной математики.

Равносильность двух уравнений с одной переменной. Теорема от прибавлении к обеим частям уравнения выражения , примеры применения теоремы к решению уравнения.

32. Равносильность двух уравнений с одной переменной. Теорема об умножении обеих частей уравнения на выражение примеры применения теоремы к решению уравнения.

33. Аксиоматический метод построения математики. Примеры аксиоматических теорий (аксиоматическое построение множества , теории величины, геометрии Евклида).

34. Виды понятий элементарной геометрии: определяемые и неопределяемые понятия, аксиома, определение понятия, определение понятия через род и видовое отличие, теорема, примеры.

35. Геометрические понятия элементарной математики: геометрическая фигура, простейшие геометрические понятия (точка, прямая, отрезок, луч, угол, ломаная линия), определения, примеры.

36. Геометрические понятия курса начальной математики: многоугольник и его виды (треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб), свойства, примеры.

37. Система аксиом Гильберта на плоскости: аксиомы принадлежности и расстояния, аксиомы в начальном курсе математики.

38.Система аксиом Гильберта на плоскости: аксиомы порядка, подвижности плоскости и параллельности, аксиомы в начальном курсе математики.

39. бщее понятие величины на основе системы аксиом. Длина отрезка как величина, измерение длины отрезка, стандартные единицы измерения длины.

40. Общее понятие величины на основе системы аксиом. Площадь плоской фигуры как величина, измерение площади плоской фигуры, стандартные единицы измерения площади.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ (профиль –психолого-педагогическое образование)

1.Множество, элемент множества, способы задания множеств. Конечные и бесконечные числовые множества. Числовые множества: . Числовые промежутки, иллюстрации на прямой, примеры. Примеры множеств в курсе начальной математики.

2.Включение множества А в множество В (подмножество), иллюстрация на прямой, свойства включения, круги Эйлера, примеры. Равные множества, свойства равных множеств, примеры.

4. Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, равносильные множества, связь равных и равносильных множеств, примеры. 5. Операция пересечения, объединения, разности двух множеств, свойства

операций, иллюстрация на прямой, круги Эйлера, примеры.

6. Декартово произведение двух различных множеств, иллюстрации на коор- динатной плоскости, примеры.

9. Высказывание, значение истинности высказывания. Примеры высказываний в курсе начальной математики.

10. Логические операции с высказываниями: отрицание высказывания, конъюнкция , дизъюнкция высказываний, таблицы истинности, иллюстрации на прямой. круги Эйлера.

11.Одноместный предикат. Множество истинности предиката, примеры.

12. Виды математических понятий. Определяемые и неопределяемые понятия в математике, объём и содержание понятия, примеры.

13. История возникновения натурального числа (количественного и порядкового). Определение натурального числа на основе теории множеств, натуральное число на основе теории множеств в курсе начальной математики. Равенство и неравенство натуральных чисел на основе теории множеств. Теоретико-множественное истолкование равенства и неравенства чисел в курсе начальной математики, примеры.

14. Упорядоченность множества N на основе теории множеств, упорядоченность натуральных чисел в курсе начальной математики.

Последовательность натуральных чисел на основе теории множеств. Счет элементов конечного множества, примеры из курса начальной математики.

15. Сумма чисел в множестве N на основе теории множеств. Существование и единственность суммы, свойства суммы: коммутативность, ассоциативность. Примеры из курса начальной математики.

16. Произведение натуральных чисел (на основе теории множеств), свойства произведения: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Свойства произведения в курсе начальной математики, примеры.

17. Образование систем названий чисел. Возникновение письменной нумерации. Позиционные системы счисления. Запись чисел в различных системах счисления, примеры. Перевод чисел из системы счисления с основанием в десятичную систему системы и обратно, примеры.

18. Сложение и вычитание чисел, записанных в системе счисления с основанием , примеры.

19. Делимость чисел в множестве . Свойства отношения делимости: де

ление числа на число нуль, числа на , числа на

число 1. Понятие делителя числа, числа простые и составные. Числа взаимно простые. Конечное множество делителей числа , наличие наибольшего и наименьшего делителя у числа , примеры.

20. Общий признак делимости Б.Паскаля, примеры. Частные признаки делимости числа на числа 2,3,5,9 (на основе общего признака делимости Б.Паскаля), примеры.

21. Общие делители двух данных натуральных чисел. Наибольший общий делитель двух данных чисел: , его вычисление при помощи алгоритма Евклида. Примеры.

22. Каноническое разложение числа в произведение простых множите-

лей, вычисление через каноническое разложение чисел , при-

меры.

23. Каноническое разложение числа в произведение простых множите-

лей, вычисление через каноническое разложение чисел , при-

меры..

24. Принципы построения учения о множестве рациональных неотрицательных чисел ,определение рационального неотрицательного числа. Аксиома равенства чисел в множестве . Свойства отношения равенства: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Свойство инвариантности чисел в множестве , понятие обыкновенной дроби, примеры

25.Аксиомы суммы и произведения в множестве свойство коммутативности, ассоциативности операций, примеры.

26.Связь между множествами и примеры.

27. Виды понятий элементарной геометрии: определяемые и неопределяемые понятия, аксиома, определение понятия, определение понятия через род и видовое отличие, теорема, примеры.

28. Геометрические понятия элементарной математики: геометрическая фигура, простейшие геометрические понятия (точка, прямая, отрезок, луч, угол, ломаная линия), определения, примеры.

29. Геометрические понятия курса начальной математики: многоугольник и его виды (треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб), свойства, примеры.