Площадь проекции плоской фигуры
Теорема: Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).
Дано:
; 
;
Доказать:
Доказательство:
1. 
; 
;
2. 
; 
; 
; 
;
3. 
; 
;
4. По теореме о трёх перпендикулярах 
;
ВD – высота ; В1D – высота 
;
5. 
– линейный угол двугранного угла 
;
;
6. 
; 
; 
; 
;
7. 
.
2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.
Дано:
; 
;
Доказать:
Доказательство:
1. ; ;
2. 
; 
;
3. 
;
4. 
; 
; 
;
(1 этап);
5. 
; ; 
;
(1 этап);
;
6. 
;
Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.
Доказательство:
Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.
Замечание: Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.
Упражнения:
1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом 
, если проекция его – правильный треугольник со стороной а.
2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.
3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.
4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом 
, если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.
5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом 
.
6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.
7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.
8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами 
и 
. Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.
11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:
Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.
2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 
см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.
3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.
4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.
5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .
6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = 
см.
Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»
1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.
2. Доказать следствия из аксиом.
3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.
4. Доказать признак скрещивающихся прямых.
5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.
6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.
7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?
8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.
9. Дать определение угла между прямыми.
10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.
12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.
13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.
14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.
15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.
16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.
17. Дать определение расстояния от точки до прямой.
18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.
19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.
20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.
21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.
23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.
24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.
25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.